Для нахождения интегралов данного типа используется метод интегрирования «по частям». Напомним, что формула интегрирования по частям имеет вид: . Основные приемы, связанные с интегрированием «по частям» приведены в таблице 3.
Решение задачи 6
Данный интеграл имеет вид , где . Такие интегралы берутся «по частям». За функцию принимается и применяется раз формула интегрирования по частям. В нашем случае , поэтому формулу интегрирования «по частям» здесь достаточно использовать только один раз.
.
Задача 7
Вычислить интеграл .
Решение задачи 7
Данный интеграл относится к виду . Такие интегралы берутся «по частям». За функцию принимается и применяется раз формула интегрирования по частям. В нашем случае , формулу интегрирования «по частям» здесь достаточно использовать два раза.
.
Применим ко второму интегралу еще раз формулу интегрирования по частям.
.
Вычислим интеграл отдельно, сделав предварительно некоторые алгебраические преобразования. Сначала добавим и вычтем 1 в числителе, а затем разобьем исходный интеграл на два табличных интеграла.
.
Отсюда
Применив метод подведения под знак дифференциала последние два интеграла, можно вычислить
Окончательный ответ
.
Задача 8
Вычислить интеграл .
Справочный материал
В данном интеграле подынтегральная функция является дробно-рациональной функцией, то есть представляет собой рациональную дробь вида
.
Метод интегрирования рациональных дробей сводится к разложению подынтегральной функции на сумму элементарных дробей, интегралы от которых являются табличными интегралами.
Если знаменатель дроби можно разложить на множители
где и не имеют вещественных корней, то правильная дробь , где , может быть представлена в виде суммы элементарных дробей:
Приведем примеры элементарных или простейших дробей.
1. ,
2. , ( - целое положительное число)
3. (дискриминант ),
4. ( и - целое положительное число).
Интегралы от этих дробей имеют вид:
1. .
2. .
3.
.
4. .
Интегрирование простейших дробей этого типа требует более сложных вычислений. Мы не будем здесь подробно рассматривать вычисления, связанные с интегрированием дробей данного типа, так как эти вычисления приведены в компендиуме по данной теме. Приведем окончательную формулу.
Вычисление последнего интеграла сводятся к рекуррентным соотношениям вида
.
Если дробь неправильная, предварительно следует выделить целую часть этой дроби. Неправильную рациональную дробь всегда можно представить в виде суммы рационального выражения (многочлена) и правильной рациональной дроби, то есть рациональная дробь при представима в виде:
, где .
Такое представление неправильной рациональной дроби и называется выделением целой части.
Решение задачи 8
В нашем примере степень числителя и знаменателя одинакова и равна 3. Следовательно, предварительно необходимо выделить целую часть рациональной дроби. Рассмотрим подынтегральную функцию:
Выделение полной части рациональной дроби можно осуществить путем деления многочленов.
– | |
Таким образом
.
Полученную неправильную рациональную дробь разложим на простейшие дроби. Знаменатель можно представить в виде . Следовательно, дробь представима в виде
.
Приведем выражение, стоящее в правой части равенства к общему знаменателю
Отсюда получим тождество
.
Коэффициенты можно найти двумя способами.
1 способ. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях тождества.
Коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях тождества должны быть равны:
= | |||
–2 | = | ||
–8 | = |
Таким образом, для нахождения коэффициентов получена система линейных алгебраических уравнений, решив которую найдем неизвестные коэффициенты.
.
Отсюда , , .
2 способ. Придавая переменной конкретные значения.
Подставим значение в полученное тождество
,
определим .
Подставив значение определим , и, наконец, подставив , определим .
Теперь исходный интеграл запишется в виде:
.
Полученный интеграл можно записать в более компактном виде, используя свойства логарифма.
.
Задача 9
Вычислить интеграл .
Справочный материал
В данном интеграле подынтегральная функция так же является дробно-рациональной функцией, и представляет собой правильную рациональную дробь, в отличие от примера, рассмотренного в предыдущем пункте. Метод решения – разложение подынтегральной функции на простейшие рациональные дроби. Этот метод был изложен в предыдущем пункте.
Решение задачи 9
Знаменатель можно представить в виде . Следовательно, дробь представима в виде
.
Приведем выражение, стоящее в правой части равенства к общему знаменателю
Отсюда получим тождество
.
Коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях тождества должны быть равны:
= | |||
= | |||
-3 | = |
Таким образом, для нахождения коэффициентов получена система линейных алгебраических уравнений, решив которую найдем неизвестные коэффициенты.
.
Выразим коэффициенты и через и подставим их во второе уравнение
или , , .
Теперь исходный интеграл запишется в виде:
Первый из интегралов является табличным, формула (2).
Второй интеграл можно вычислить двумя способами.
1 способ. Второй интеграл представляет собой интеграл типа 3 (см. справочный материал к задаче 8), поэтому можно применить формулу.
.
В нашем случае
, .
.
.
2 способ. Выделение полного квадрата в знаменателе подынтегрального выражения.
Представим в виде полного квадрата.
.
Тогда интеграл можно переписать в виде:
Рассмотрим первый из интегралов
Второй из интегралов – табличный, формула (12).
.
Таким образом,
.
Окончательный ответ .
Задача 10
Вычислить интеграл .
Справочный материал
В данном примере подынтегральная функция содержит иррациональное выражение. Метод решения здесь: применение подходящей замены. Обычно замену выбирают так, чтобы избавиться от иррационального выражения.
Решение задачи 10
Введем новую переменную . Отсюда , . Подставим полученные выражения в интеграл
Вернемся к исходной переменной
Задача 11
.
Справочный материал
В данном примере подынтегральная функция имеет вид , где ― рациональная функция от и . Метод решения здесь основан на применении так называемой универсальной подстановки
, или .
Тогда
, , .
Таким образом, данная подстановка, приводит исходный интеграл от тригонометрических функций и к интегралу от рациональной функции новой переменной .
.
Решение задачи 11
Применив универсальную подстановку, получим
.
Таким образом, интеграл от тригонометрических функций свелся к интегралу от рациональной дроби.
Разложим подинтегральную функцию на простейшие дроби
.
Отсюда
.
Подставим в ту формулу , получим , подставим в ту формулу , получим . Таким образом,
.
Возвращаясь к исходной переменной, получим:
.
Задача 12
Вычислить интеграл
Справочный материал
В данном примере требуется найти значение определенного интеграла. Для вычисления определенных интегралов используется формула Ньютона-Лейбница
,
где есть какая-либо первообразная для функции .
Подынтегральная функция имеет вид , где ― рациональная функция своих аргументов. Метод решения здесь основан на применении подстановки . Тогда .
Решение задачи 12
1 способ. Рассмотрим сначала неопределенный интеграл. Применив подстановку ,
тогда
получим
Представим в знаменателе число в виде , и вынесем за скобку, получим
.
Возвратимся к исходной переменной. Найдем сначала
.
Получим:
.
2 способ. Можно интегрировать непосредственно определенный интеграл. В этом случае нужно пересчитать пределы интегрирования. При , имеем , отсюда . При , имеем , отсюда .
.
Задача 13
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , .
Справочный материал
Определенный интеграл используется для нахождения площадей плоских фигур. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривыми , и прямыми , (рис.1), равна
. .
Рис.1 Площадь криволинейной трапеции
Решение задачи 13
В данном случае фигура ограничена двумя линиями – прямой и параболой.
Рис. 2.
Для определения пределов интегрирования найдем точки пресечения этих кривых. Они находятся как решения уравнения .
Для определения пределов интегрирования найдем точки пресечения этих кривых. Они находятся как решения уравнения . В нашем случае , . Для определения точек пересечения имеем уравнение:
, или . Решая уравнение, находим . Следовательно, .
Осталось вычислить определенный интеграл
Задача 14
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией:
, при .
Справочный материал
Для определения площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде
,
и прямыми вида и , используется формула:
где . Пределы интегрирования и находятся из уравнений .
Решение задачи 14
Данная кривая является циклоидой.
Рис. 3
В нашем случае
.
Пределы интегрирования и находятся из уравнений , то есть из равнений . Решая их находим , , поэтому искомая площадь равна значению определенного интеграла
Задача 15
Вычислить длину дуги кривой
, при .
Справочный материал
Для определения длины дуги кривой, заданной в параметрическом виде и , где используется формула:
.
Решение задачи 15
Заданная кривая является астроидой
Рис. 4.
.
1 вариант | |
1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . | 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . |
13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , . 14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , , при . 15.Найти объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями , при , вокруг оси . | |
2 вариант | |
1. . 15. Найти длину дуги кривой 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . | 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . |
13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: и . 14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , , при . 15.Вычислить длину дуги кривой от ее вершины до точки . | |
3 вариант. | |
1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . | 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . |
13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , , . 14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: и , при и . 15.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями и , вокруг оси . |
4 вариант. | |
1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . | 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . |
13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , , , . 14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , , при . 15.Вычислить длину дуги линии , при . |
5 вариант. | |
1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . | 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . |
13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , , при . 14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , , при . 15.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линией: . |
6 вариант. | |
1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . | 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . |
13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , при . 14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , ,при. 15.Вычислить длину дуги кривой ,при. |
7 вариант. | |
1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . | 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . |
13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , , . 14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией: . 15.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями: . , , |
8 вариант. | |
1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . | 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . |
13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , , , . 14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , ,при и . 15.Вычислить длину дуги кривой ,при. |
9 вариант. | ||
1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . | 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . | |
13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , ,при . 14.Вычислить плошадь фигуры, ограниченной линиями: , ,при . 15.Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: и , вокруг . | ||
10 вариант. | ||
1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . | 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . | |
13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , , . 14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , ,при . 15.Найти длину дуги кривой ,при . | ||
11 Вариант. | ||||
1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . | 7. /
8.
Поиск по сайту©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование. Дата создания страницы: 2020-05-09 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных |
Поиск по сайту: Читайте также: Деталирование сборочного чертежа Когда производственнику особенно важно наличие гибких производственных мощностей? Собственные движения и пространственные скорости звезд |