Константин Васильевич Волков родился 24 февраля 1871 года в Казани в семье ламповщика Казанского театра. Когда ему было три года, от тяжелой болезни умирает мать, и далее он воспитывается лишь с отцом. Отец Константина, Василий Волков, был страстным любителем театрального искусства и проявлял большой интерес к литературе, увлекался чтением произведений Пушкина и Лермонтова. Живо интересовался и тем, что происходит в стране и, ко всему этому приобщал своего сына. В 1881 году Василий Волков устраивает десятилетнего сына в первую Казанскую императорскую гимназию. Костя Волков был очень одаренным мальчиком, в гимназии он за короткое время в совершенстве овладевает английским, французским, немецким, итальянским и латинским языками. Тяга к изучению языков у него осталось навсегда. С переездом в Чувашию за считанные недели он осваивает чувашский язык, со своими пациентами- чувашами начинает общаться на их языке и для них пишет брошюры на медицинские темы. После окончания Казанской императорской гимназии в 1889 году он поступает на естественное отделение физико-математического факультета Казанского университета, где заводит дружбу со студентом того же отделения Зиновием Таланцевым. В университете К. В. Волков учится только на отлично, оканчивает его в1893 году с дипломом с отличием. 1894 году К. Волков поступает на медицинский факультет Московского университета.
Врачебная деятельность К. Волкова начинается с 1897 года в городе Богордске Московской губернии, откуда, после двух лет работы, он был призван в армию и в течение двух лет служил младшим врачом полка. Особое место в жизни К. Волкова занимает его работа в Крыму в 1901-1906 годы, где лечил Л. Н. Толстого, познакомился с А. П. Чеховым, В. Г. Короленко, А. И.Куприным, А. М. Горьким. За участие в революционном движении (1902-1906)годы был арестован и отправлен в город Ядрин (1907). После освобождения из тюрьмы К. В. Волков уезжает в Браилов Подольской губернии, начинает работать в земской больнице и быстро завоевывает авторитет среди местного населения. А с первого июня 1911 года, по приглашению Зиновия Таланцева, К. Волков возвращается в Ядрин, устраивается врачом амбулатории спирт завода братьев Таланцевых и, по их просьбе, активно включается в проектирование глазной и хирургической лечебницы на 30 кроватей. Глазная и хирургическая лечебница стала первым специализированным хирургическим учреждением в дореволюционной Чувашии. Только за первый год функционирования лечебницы им была произведена641 операции и осуществлен прием более 5000 амбулаторных больных. В последующие годы количество произведенных здесь операций доходило до1200-1450. Волков посвятил себя хирургической практике, организации здравоохранении и борьбе с социальными болезнями. В 1920 – 30 годы подготовил около 10 хирургов для сельских и городских больниц, разработал и внедрял новые методы оперативных вмешательств в области офтальмологии, торакальной хирургии и травматологии. Одновременно занимался обобщением хирургической работы лечебницы, уделял особое внимание изучению травматизма среди сельского населения, выявлению причин патологических родов, предупреждению внутрибольничной инфекции и другие. Ряд его работ посвящен проблемам организации хирургической службы в районах, статистике в медицине, медицинскому образованию и усовершенствованию врачей. В решении сложных задач по организации хирургической службы в чувашской автономии К. В. Волкову помогло и то, что он имел тесные контакты и деловые связи с такими выдающимися хирургами страны, как В. А. Опель, И. И. Греков, А. В.Вишневский, Н. Н. Бурденко и другие. Константин Васильевич активно посещал руководимые ими клиники и набирался хирургического опыта. Проходит немного времени, и К. В. Волков самого начинают признавать не только как крупного хирурга страны, но и как научного деятеля. И многие хирурги сами посещают лечебницу Волкова и изучают опыт его работы. Проводимая им большая хирургическая и научная работа не остается незамеченным правительством Чувашии. В 1923 году ему было присвоено звание Героя Труда, 13 декабря 1928 года Постановлением ЦИК Чувашской АССР Ядринской глазной и хирургической лечебнице присваивается имя К. В.Волкова. Он был признан не только как выдающийся хирург, но и как крупный ученый страны. 27 марта 1935 года Высшая Квалификационная Комиссия при Наркомздраве РСФСР присваивает Константину Васильевичу ученую степень доктора медицинских наук без защиты. Им было опубликовано более 80научных работ. Активно участвовал Волков в работе российских и всесоюзных съездов хирургов, был председателем съездов врачей Татарии и третьего съезда врачей Поволжья.Сотрудничал и был членом редколлегии журнала «Новый хирургический архив», «Советская хирургия» и «Журнала современной хирургии», а в первом издании Большой Медицинской Энциклопедии – автором и редактором статей по вопросам хирургии.