Начертательная геометрия (НГ)
НГ - это наука об изображении пространственных геометрических форм на плоскости или другой поверхности.
Основная задача НГ - это получение таких изображений, по которым можно составить полноее представление, как о геометрической форме, так и о размерах объекта.
НГ - это наука точных построений.
Основные методы проецирования - эо центрально проецирование (ЦП) и параллельное проецирование (ПП).
ЦП:
S - полюс проецирования (центр проецирования);
A, B, C - оригинал проецируемый элемент;
SA, SB, SC - проецирующие лучи;
Aо, Bо, Cо - центральная проекция оригинала на плоскости П0.
ЦП - проецирование оригинала на плоскость из произвольно выбраннго или заданного центра проецирования.
Свойства ЦП:
1) Любой геометрический элемент при неизменном его положении относительно плоскости проекции и фиксированном центре проецирования имеет на плоскости единственную проекцию.
2) Любая точка на плоскости проекций является проекцией бесчисленного числа точек, лежащих на проецирующем луче.
3) В общем случае проекция прямой есть прямая.
Преимущества ЦП:
- Наглядность;
- Легко определяется форма объекта по его ЦП;
Недостатки ЦП:
- По ЦП невозможно оценить размер оригинала.
ЦП используют в архитектуре, в изобразительном искусстве, кино-фотоискусстве и др.
ЦП называют перспективой.
ПП:
Параллельное проецирование - это проецирование при помощи параллельных лучей.
Полюс проецирования находится в бесконечности.
Свойства ПП = ЦП. Кроме того:
параллельные прямые нарисованы в виде параллельных, т.е. если АВ||CD следует AоBо||CоDо
Отношение отрезков оригинала равно проекций оригнила.
АВ/CD=AoBo/CoDo
Легко определяются размеры оригинала по его проекции.
ПП подразделяют на:
- Косоугольное - проецирующие лучи не перпендикулярны плоскости проекции;
- Прямоугольное (ортогональное) - проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекции.
Ортогональное проецирование лежит в основе машиностроительных чертежей.
Прямоугольное проецирование на плоскости координат
В НГ принято распологать однуплоскость проекций горизонтально, а две другие вертикально. При это все 3 плоскости взаимно-перпендикулярны. Одну из вертикальных плоскостей распологают перед наблюдателем (фронтально). Задают прямоугольную систему координат.
Плоскость XOY - Пи1 - горизонтальная плоскость проекций
XOZ - Пи2 - фронтальная плоскость проекцй
YOZ - Пи3 - профильная плоскость проекций.
Возьмем проивзольную точку А и спроецируем на указанной плоскости
А' (Ax,Ay) - горизонтальная проекция точки А
A'' (Ax,Az) - фронтальная
A''' (Ay,Az) - профильная
Перейдем к ортогональной системе координат. С этой целью повернем плоскости Пи1 и Пи3 до совмещения с плоскостью Пи2.
В НГ все пространство принято делить на 8 частей (8 октантов)
Здесь таблица октант
Для фиксации положения точки в пространстве достаточно знать положение 2 проецкий, т.к. при этом известны все три координаты точки, а значит всегда можно построить недостающую третью проекцию.
А' (Ax,Ay) - горизонтальная проекция точки А
A'' (Ax,Az) - фронтальная
A''' (Ay,Az) - профильная
При построении проекции точки в ортогональной системе координат важно помнить, что фронтальная и горизонтальная проекции точки находятся на одной вертикали или совпадают, а фронтальная и профильня проекция всегда на одной горизонтали или совпдадают.
Задача 1
Построить проекции точки с координатами: А(-30; 40; -20) и определить ее принадлежность к октантам (8 октанта).
Задачу решить в ортогональной систее координат и в прямогульной изометрии.
Основные оксонометрические проекции:
- Косоугольная диметрия (коэф. искажения по Кх=Kz=1; Ky=0,5);
- Прямоугольная диметрия (Kx=Kz=1; Ky=0,5) - в дз не нужна;
- Изоугольная диметри (Kx=Ky=Kz=1).
