Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Матрицы и определители
Индивидуальные задания
| Пособие разработано ст. преп. Зубко Т. Я., доцентом Седовой С. М., доцентом Сулавко Т. С.. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ |
Пермь 2007
Задание к работе
1. Вычислить определитель 3-го порядка, используя метод Саррюса (или метод треугольников) и метод разложения по минорам какого-нибудь ряда.
2. Вычислить определитель высшего порядка.
3. Привести матрицу к ступенчатому виду и вычислить ранг матрицы.
4. Выполнить действия с матрицами.
5. Вычислить значение многочлена от матрицы 
.
6. Найти неизвестную матрицу 
из уравнения.
Образец решения варианта.
1.Вычислить определитель 3-го порядка 1) по правилу Саррюса (правило треугольников). Это правило заключается в равенстве
.
Таким образом,
2) Второе правило вычисления 
называется разложением по элементам некоторой строки (или столбца). Например, разложение по элементам первой строки имеет вид
.
Определитель
разложим по элементам третьего столбца, т.е.
.
Как видно из приведенных примеров, вычисление определителей значительно упрощается, если какой-нибудь ряд определителя имеет только один элемент, отличный от нуля. Это можно всегда достигнуть, используя свойства определителей. В определителе
умножим первую строку на 2 и прибавим ко второй, прибавим первую строку к третьей, получим
.
2. Вычислить определитель высшего порядка
.
Решение:
Используя свойства определителя, понизим порядок определителя. С этой целью прибавим пятый столбец к первому:
;
в полученном определителе 4-го порядка четвертый столбец умножим на 3 и прибавим к первому столбцу, затем умножим его на 2 и прибавим ко второму столбцу, умножим его на 8 и прибавим к третьему столбцу, получаем
.
Из приведенного примера очевидно, что вычисление определителей высших порядков значительно упрощается, если определитель привести к треугольному виду.
3. Привести матрицу к ступенчатому виду и вычислить ранг матрицы
.
Решение.
Говорят, что квадратная матрица имеет ступенчатый вид, если ниже ее главной диагонали стоят нулевые элементы. Матрица приводится к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований: а) перестановка строк, б) умножение строки на число, в) прибавление к одной строки другой, умноженной на некоторое число. Ранг матрицы 
, 
, равен количеству ненулевых строк эквивалентной ей матрицы ступенчатого вида.
В первом столбце данной матрицы ниже первого элемента получим нулевые элементы с помощью преобразования в). Последовательно умножим первую строку матрицы на (–2) и прибавим ко второй строке, умножим на (–3) и прибавим к третьей строке, умножим на (–2) и прибавим к четвертой строке, получим
.
В полученной матрице во втором столбце во второй строке и ниже второй строки отсутствуют единицы. Единицу можно получить, умножив вторую строку на (
), или поделив на (–5), а затем во втором столбце ниже второго элемента получить нули с помощью преобразования в), при этом будут возникать дробные числа. Во избежание вычислений над дробями получим единицу во втором столбце второй строки иначе: ко второй строке прибавим третью строку, умноженную на (–1), результат запишем на месте второй строки. Далее, поделим третью строку на (–2), четвертую строку на (–1), имеем
.
Во втором столбце полученной матрицы ниже второго элемента получим нулевые элементы. Последовательно умножим вторую строку полученной матрицы на 2 и прибавим к третьей строке, умножим на 7 и прибавим к четвертой строке, затем третью строку поделим на 9, четвертую строку поделим на 18. Во вновь полученной матрице в третьем столбце ниже третьего элемента получим нулевой элемент: третью строку умножим на (–1) и прибавим к четвертой строке, имеем
.
Отсюда заключаем, что 
.
4. Выполнить действия с матрицами
.
Решение. Обозначим
, 
, 
, 
.
Произведение 
имеет смысл, так как число столбцов матрицы равно числу строк матрицы 
. Находим матрицу 
, элементы которой 
, 
. Имеем
.
Произведение 
имеет смысл, так как тоже число столбцов матрицы 
равно числу строк матрицы 
. Находим матрицу 
, элементы которой 
, 
. Имеем
.
Разность 
имеет смысл, так как матрицы 
и 
имеют одинаковую размерность 
. Находим искомую матрицу 
, элементы которой 
, 
. Имеем
.
Ответ: Результатом действия данных матриц является матрица
.
5. Вычислить значение многочлена 
от матрицы 
, где
, 
.
Решение.
При вычислении значения многочлена 
от матрицы вместо 
подставляем данную матрицу , а свободный член многочлена записываем в матричной форме, т.е. в виде 
, где 
единичная матрица того же порядка, что и данная матрица . Таким образом,
,
1) 
,
2) 
,
3) 
.
Имеем 
.
Ответ: 
.
6. 1) Найти неизвестную матрицу 
из уравнения
.
Решение.
Исходное уравнение запишем в матричной форме
, где 
, 
.
Матричное уравнение вида имеет решение, если матрицы и 
– квадратные матрицы одинакового порядка и матрица – невырожденная, т.е. 
. В этом случае для матрицы существует обратная матрица 
. Умножая слева обе части уравнения на 
, получим
, где 
единичная матрица,
искомая матрица.
Для данной матрицы : 
. Следовательно, существует . Найдем ее по формуле 
, где 
алгебраическое дополнение элемента 
матрицы . Для данной матрицы : 
. Тогда 
и
.
Ответ: 
.
2) Найти неизвестную матрицу из уравнения
.
Решение.