Определить вертикальные, горизонтальные или наклонные асимптоты, исследовав поведение функции в окрестности особых точек и при больших по модулю x.

Построение графика функции

Цель: использовать производную для исследования функции по схеме и построения эскиза ее графика.

Изучение нового материала

Откройте учебник и прочитайте внимательно стр215-218.

При исследовании функции и построении ее графика надо следовать следующей схеме: (Запишите себе в тетрадь)

1. Найти область определения.

Выяснить особенности (четность или нечетность функции, периодичность и т. д.).

Найти точки пересечения графика с осями координат.

Найти промежутки знакопостоянства.

Выяснить с помощью производной монотонность функции, промежутки возрастания и убывания.

Используя производную, найти Критические и стационарные точки, точки экстремума и значения функции в этих точках.

Определить вертикальные, горизонтальные или наклонные асимптоты, исследовав поведение функции в окрестности особых точек и при больших по модулю x.

Рассмотрим применение этой схемы для исследования функции и построения ее графика. Разберите внимательно примеры. Переписывать их необязательно

Пример 1

Исследуем функцию f(x) = х²(х - 2)² и построим ее график.

1. Область определения D(f) = R, так как f(х) - многочлен.

2. Функция определенной четности не имеет.

3. График касается оси абсцисс в точках x = 0 и х = 2.

4. При всех значениях х функция f(х) ≥ 0.

5. 6. Найдем производную функции: Производная существует при всех значениях х и обращается в нуль при х₁ = 0, х₂ = 1 и х₃ = 2 (стационарные точки). Отметим эти точки на числовой оси и нарисуем диаграмму знаков производной.

Видно, что промежутки убывания функции (-∞; 0] и [1; 2] и промежутки возрастания [0; 1] и [2; ∞). В точках х = 0 и х = 2 функция имеет минимум и f_min = f(0) = f(2) = 0. В точке x = 1 функция имеет максимум и f_mах = f(1) = 1.

7. Асимптот график функции не имеет. Учитывая проведенное исследование функции, нарисуем ее график.

Пример 2

Проведем исследование и построим график функции

1. Область определения функции

2. Так как область определения - несимметричное множество, то функция определенной четности не имеет.

3. График пересекает ось ординат в точке f(0) = 1. Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс решим уравнение f(х) = 0 или корни которого x1 = -1/2 и x2= 1.

4. Отметим точки x1 = -1/2, x2 = 1 и х = -1 (в которой дробь не имеет смысла) на координатной оси и отметим знаки функции f(х). Видно, что значения f(х) > 0 при и значения f(х) < 0 при - промежутки знакопостоянства функции.

 

5. 6. Найдем производную функции: Производная не существует в точке х = -1, но эта точка не входит в область определения функции и не является критической.

Производная обращается в нуль в точках х = -2 и х = 0 (стационарные точки). Отметим эти точки на числовой оси и расставим знаки производной. Видно, что функция f(х) убывает на промежутках (-∞; -2] и [0; ∞) и возрастает на промежутках [-2; -1) и (-1; 0]. В точке х = -2 функция имеет минимум и fmin = f(-2) = 9, в точке х = 0 имеет максимум иfmах = f(0) = 1.

7. Функция имеет вертикальную асимптоту х = -1, так как при х → -1 числитель дроби 1 + х - 2х2 → -2, а знаменатель х + 1 → 0. Поэтому f(х) → ±∞ при х → -1.

В функции f(х) выделим целую часть (деля уголком) и получим: При х→ ±∞ величина и f(х) → -2х + 3. Поэтому функция f(х) имеет наклонную асимптоту у = -2х + 3. Учитывая проведенное исследование, строим график данной функции.

 

Пример 3

Определим число корней уравнения х⁴ - 4х³ + 8 = 0.

Рассмотрим и исследуем функцию f(x) = х⁴ - 4х³ + 8. Найдем производную этой функции: f'(x) = 4х3 – 12x2 = 4х²(x - 3). Приравняем производную нулю и найдем стационарные точки функции х = 0 и х = 3. Нарисуем диаграмму знаков производной.

Видно, что на промежутке [3; ∞) функция возрастает. В точке х = 3 функция имеет минимум fmin(x) = f(3) = -19. Тогда по теореме о корне уравнение имеет один корень на промежутке (∞; 3) и один корень на промежутке (3; ∞). Таким образом, данное уравнение имеет два корня (на рисунке приведен график).

 

Пример 4

Найдем все значения параметра а, при которых уравнение имеет решения.

Используем формулу понижения степени, запишем уравнение в виде и выразим Введем новую переменную t (где ) и построим график функции a(t). Приравняем производную a' = 6t2 - 8 нулю и получим стационарные точки Отметим эти точки на числовой оси и расставим знаки производной. Стационарные точки функции не принадлежат промежуткам [-1; 0)U(0; 1]. Поэтому на этих промежутках функция убывает. Учтем, что функция a(t) нечетная. Найдем значения а(-1) = 6 и a(1) = -6. На рассматриваемых промежутках построим график функции.

На графике видно, что при данное уравнение имеет решения.

Сделайте самостоятельно № 31.1, 31.2

Домашнее задание

§ 31. П.1, № 31.3 (а), 31.4 (б), 31.5(а), 31.7 (а), 31.9 (а)