Определение.
Углом наклона прямой y=kx+b называют угол 
, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс до прямой y=kx+b в положительном направлении (то есть, против часовой стрелки).
На рисунке положительное направление оси абсцисс показано горизонтальной зеленой стрелочкой, положительное направление отсчета угла изображено зеленой дугой, прямая показана синей линией, а угол наклона прямой - красной дугой.
Определение.
Угловым коэффициентом прямой y=kx+b называют числовой коэффициент k.
Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой, то есть, 
.
· Угол наклона прямой равен нулю, когда прямая параллельна оси абсцисс. В этом случае нулю равен и угловой коэффициент, так как тангенс нуля есть ноль. Следовательно, уравнение прямой будет иметь вид y=b.
· Когда угол наклона прямой y=kx+b является острым (
или 
), то угловой коэффициент k является положительным числом (так как тангенс острого угла принимает положительные значения 
) и указывает на возрастание графика прямой.
· В случае, когда 
прямая располагается перпендикулярно оси абсцисс (параллельно оси ординат) и задается равенством x=c, где c - некоторое действительное число.
· Когда угол наклона прямой y=kx+b является тупым (
или 
), то угловой коэффициент k является отрицательным числом и указывает на убывание графика прямой.
<center 
Определение.
Прямую AB, проведенную через две точки графика функции y=f(x), называют секущей. Другими словами, секущая – это прямая, проходящая через две точки графика функции.
На рисунке секущая прямая AB изображена синей линией, график функции y=f(x) - черной кривой, угол наклона секущей - красной дугой.
Если принимать во внимание, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона (об этом говорили выше), и тангенс угла в прямоугольном треугольнике ABC есть отношение противолежащего катета к прилежащему (это определение тангенса угла), то для нашей секущей будет справедлива серия равенств 
, где 
- абсциссы точек А и В, 
- соответствующие значения функции.
То есть, угловой коэффициент секущей определяется равенством 
или 
, а уравнение секущей записывается в виде 
или 
(при необходимости обращайтесь к разделу уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку).
Секущая прямая разбивает график функции на три части: слева от точки А, от А до В и справа от точки В, хотя может иметь более чем две общих точки с графиком функции.
На рисунке ниже приведены три фактически разных секущих (точки А и В различны), но они совпадают и задаются одним уравнением.
Нам ни разу не встречались разговоры о секущей прямой для прямой. Но все же, если отталкиваться от определения, то прямая и ее секущая прямая совпадают.
В некоторых случаях секущая может иметь с графиком функции бесконечное число точек пересечения. Например, секущая, определяемая уравнением y=0, имеет бесконечное число общих точек с синусоидой.
Определение.
Касательной к графику функции y=f(x) в точке 
называют прямую, проходящую через точку , с отрезком которой практически сливается график функции при значениях х сколь угодно близких к 
.
Поясним это определение на примере. Покажем, что прямая y = x+1 является касательной к графику функции 
в точке (1; 2). Для этого покажем графики этих функций при приближении к точке касания (1; 2). Черным цветом показан график функции , касательная прямая показана синей линией, точка касания изображена красной точкой.
Каждый последующий рисунок является увеличенной областью предыдущего (эти области выделены красными квадратами).
Хорошо видно, что вблизи точки касания график функции практически сливается с касательной прямой y=x+1.
А сейчас перейдем к более значимому определению касательной.
Для этого покажем, что будет происходить с секущей АВ, если точку В бесконечно приближать к точке А.
Рисунок ниже иллюстрирует этот процесс.
Секущая АВ (показана синей пунктирной прямой) будет стремиться занять положение касательной прямой (показана синей сплошной линией), угол наклона секущей (показан красной прерывистой дугой) будет стремиться к углу наклона касательной 
(изображен красной сплошной дугой).
Определение.
Таким образом, касательная к графику функции y=f(x) в точке А – это предельное положение секущей AB при 
.
Вот теперь можно переходить к оописанию геометрического смысла производной функции в точке.