Автокорреляционная и частная автокорреляционная функции.

Моделирование стационарных процессов.

Понятие стационарности.

Будем понимать под временным рядом реализацию случайного процесса.

Опр. 1 (строгой стационарности или стационарности в узком смысле) Случайный процесс является строго стационарным, если сдвиг во времени не меняет и одну из функций плотности распределения. То есть, если ко всем моментам времени прибавить некую целочисленную величину, то функция плотности при этом не изменится:

для всех n, моментов времени и целочисленном Δ.

Опр. 2 (слабой стационарности или стационарности в широком смысле) Случайный процесс называются стационарным в широком смысле, если он обладает постоянной средней и дисперсией (то есть дисперсия и математическое ожидание не зависят от времени), а ковариация зависит только от временного интервала между двумя отдельными наблюдениями.

То есть случайный процесс v_t называют стационарным, если для него выполняются следующие условия:

1) М(v_t)= М(v_t+k)=m=const;

2) D(e_t)=s²=const;

3) cov(v_i,v_j)=cov(v_i+l,v_j+l) при любых i ¹ j.

Соответственно временные ряды представленные строго стационарными и слабо стационарными случайными процессами называются стационарными временными рядами в узком и широком смысле.

Авторегрессионные процессы.

Опр. 3. Авторегресонным (Auto-Regressive) называется процесс, при котором значение ряда находится в линейной зависимости от предыдущих значений.

Например, если текущее наблюдаемое значение является функцией всего лишь одного значения, непосредственно предшествующего наблюдению, то есть процесс зависит всего лишь от одного значения рассматриваемой переменной, то процесс называется авторегрссионным процессом первого порядка и обозначается AR(1). Это можно обобщить следующим образом: если анализируемый динамический процесс зависит от 1 до n временных лагов назад, то это авторегрессионный процесс порядка n, т. е. AR(n):

(1)

Здесь текущее значение Y – функция от n наиболее недавних предыдущих значений.

Уравнение (1) можно рассматривать как многофакторное уравнение регрессии, где прошлые значения Y являются независимыми наблюдениями:

(2)

где – остаток или ошибка (погрешность) .

Модели скользящей средней.

Опр.4. Модель скользящей средней (Moving Average) – это модель, где моделируемая величина задается линейной функцией от прошлых ошибок, т.е. разностей между прошлыми и фактическими наблюдениями.

(3)

где - случайная ошибка, m – количество лагов запаздывания.

Термин «скользящая средняя», используемый здесь не стоит путать с соответствующим термином, относящимся к непараметрическим методом поиска тренда.

Автокорреляционная и частная автокорреляционная функции.

Для определения степени автокорреляции временных рядов необходимо измерить связь между текущими и прошлыми значениями исходного временного ряда. Это связь измеряется с помощью коэффициентов автокорреляции, совокупность которых образует автокорреляционную функцию (АКФ, (ACF)).

Опр.5. Коэффициент автокорреляции измеряет связь между текущими и прошлыми наблюдениями временного ряда и рассчитывается следующим образом:

(4)

где k – количество лагов запаздывания, - среднее значение ряда.

Таким образом, коэффициент автокорреляции первого порядка будет рассчитан с лагом в один период, коэффициент автокорреляции второго порядка будет учитывать степень связи между значениями, отстоящими на два временных периода и т.д. Следовательно, сначала рассчитываются коэффициенты автокорреляции всех порядков, а затем с помощью статистических критериев определяется, при каких лагах коэффициенты значимы (таким образом, определяется порядок авторегрессионного процесса). Частный коэффициент автокорреляции измеряет связь между текущим значением переменной X_t и последующими значениями этой переменной X_t-1, X_t-2, …, X_t-k, когда влияние всех промежуточных временных лагов устранено. Таким образом, частный коэффициент автокорреляции первого порядка будет равен коэффициенту автокорреляции первого порядка, так как нет промежуточных лагов. Но частные коэффициенты второго и следующих порядков будут уже отличаться друг от друга.

Опр.6. Частный коэффициент автокорреляции лежит в основе частной автокорреляционной функции (ЧАКФ). Частный коэффициент автокорреляции определяет степень автокорреляции временного ряда. Например, ряд, обозначенный AR(m), показывает, что последний статистически значимый частный коэффициент автокорреляции рассчитан с лагом m. (В ряде AR(4) значимыми будут частные коэффициенты автокорреляции с лагами от одного до четырех периодов, но коэффициенты с более высокими лагами не будут значимо отличаться от нуля).

В динамическом процессе AR(m) частные коэффициенты автокорреляции значимо отличаются от нуля для временных лагов от 1 до m и затем резко падают до нуля для интервалов m+1 и больше.

Опр.7. График автокорреляционной функции, где по оси абсцисс откладывается k – количество лагов запаздывания, а по оси ординат соответствующие значения коэффициентов автокорреляции, называется коррелограммой АКФ. Аналогичный график частной автокорреляционной функции называется частной коррелограммой.