Сигнал s(t) распространяясь по каналу связи, искажается помехой, так что можно говорить о том, что на вход приемника приходит не сигнал s(t), а другой сигнал x(t).
В приемнике содержатся априорные сведения о сигнале:
1) известен вид функции s(t) и известно, что она не равна нулю на интервале времени (tн,tк),
2) известна статистика помехи (например, плотность вероятности ее амплитуды).
В приемнике решается, был ли передай сигнал на интервале времени (tн,tк) или нет. Очевидно, что решение нельзя принять до наступления момента времени tн, а в ряде случаев – и до наступления момента tк. Приемник анализирует сигнал x(t) на интервале (tн,tк) и в некоторый момент времени t0³tк должен выдать решение.
Рассмотрим решение данной задачи при следующих ограничениях (условиях):
1) известен вид сигнала s(t), действующего в интервале времени (0, t0);
2) помеха n(t) является аддитивной и представляет собой белый шум, т.е. спектральная плотность мощности помехи Gn(f)=C, где – постоянная величина.
Приемник является линейной системой, к которой применим принцип суперпозиции. На вход приемника поступает воздействие, представляющее собой смесь полезного сигнала s(t) и помехи n(t): x(t)=s(t)+n(t).
Реакцию такой системы на это входное воздействие можно представить как сумму p(t)=x(t)+e(t), где x(t) – реакция системы, вызванная воздействием полезного сигнала s(t); e(t) – результат преобразования системой помехи n(t). Такое разделение произвести можно, если приемник – линейная система.
Помеху, действующую в канале связи, практически нельзя уменьшить, поэтому для повышения помехоустойчивости и пропускной способности канала связи стремятся обычно увеличить мощность полезного сигнала s(t). Как правило, выбирают максимально возможную мощность, учитывая ограничения, накладываемые аппаратурой и самой линией связи, чтобы обеспечить максимальное отношение Pc/sn2, где Pc – мощность полезного сигнала, а sn2 – мощность помехи, отнесенные к входу приемника
Функция приемника – обработать сигнал, чтобы еще больше увеличить отношение сигнал/помеха. Рассмотрим задачу обнаружения сигнала на фоне помех как задачу синтеза линейного фильтра, на выходе которого в момент времени t0 имеет место максимум отношении x(t0)/se2, где se2 – мощность (дисперсия) помехи на выходе фильтра.
Рис. 3.1. Импульсная характеристика линейного фильтра
|
min[ 
-2kx(t0)],
где k – произвольный постоянный коэффициент.
Учитывая, что спектр помехи e(t) на выходе фильтра зависит от его частотной характеристики:
,
определим мощность помехи:
Выходной сигнал фильтра в момент времени t0
Преобразуем выражение (3.6):
Интеграл 
представляет собой энергию сигнала и при заданной функции s(t) является постоянной величиной. Условием минимума является равенство нулю интеграла 
, т.е. 
.
Это условие эквивалентно равенству 
, означающему, что наибольшее отношение сигнал/помеха в момент времени t0 на выходе фильтра достигается тогда, когда импульсная характеристика фильтра является зеркальным отображением полезного сигнала s(t+t0) (рис. 3.1).