Действия с вероятностями
Очень часто интересующие нас события являются комбинацией других событий: суммой, произведением, суммой произведений и т.д. Исчисление вероятностей таких сложных (составных) событий проводится по правилам, которые приведены в данном разделе.
Вероятность суммы несовместных событий
Пусть событие 
является суммой событий 
, которым благоприятствуют 
из 
исходов опыта. Тогда событию благоприятствуют 
исходов. По классической формуле:
.
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Это утверждение часто называют теоремой сложения вероятностей.
Пример. Вернемся к рассмотренному в лекции 27 опыту с бросанием двух костей. Пусть — выпадение в сумме от 5 до 7 очков. Тогда 
, где 
— выпадение в сумме 5 очков, 
— выпадение в сумме 6 очков, 
— выпадение в сумме 7 очков. Общее число исходов и значение 
подсчитаны, значения 
и 
можно подсчитать аналогично. Искомая вероятность будет равна
.
Следствие 1. Если события 
образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1: 
.
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: 
или 
.
Вероятность события 
равна 1 минус вероятность события, противоположного .
Следствие 2 часто используют при решении задач. Например, найдем вероятность события А, состоящего в том, что наугад названное пятизначное число содержит хотя бы одну четную цифру.
, где
— названное число содержит 1 четную цифру;
— названное число содержит 2 четные цифры;
— названное число содержит 3 четные цифры;
— названное число содержит 4 четные цифры;
— названное число содержит 5 четных цифр;
.
Гораздо проще, однако, найти 
, зная вероятность обратного события 
– что в названном числе не содержится ни одной четной цифры. Т.к. чисел с нечетными цифрами 
(поскольку выбираем из 1,3,5,7,9), а общее число пятизначных чисел 
, то
; 
.
Вероятность суммы совместных событий
|
Рассмотрим вначале сумму двух совместных событий и . Представим общее число исходов площадью 
прямоугольника 
, исходы , благоприятствующие — площадью 
, исходы , благоприятствующие событию — площадью 
. Площадь 
соответствует исходам 
, благоприятствующим и событию и событию .
Из рисунка видно, что исходы опыта 
, благоприятствующие событию 
, представлены отмеченной штриховкой площадью 
. Воспользовавшись геометрическим способом вычисления вероятности, можем найти
.
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность совместного осуществления (произведения) этих событий.
|
Теперь рассмотрим три совместных события , , . Как и в предыдущем случае будем считать, что площадь прямоугольника соответствует всем исходам опыта, — исходам, благоприятствующим событию , — исходам, благоприятствующим событию , 
— исходам, благоприятствующим , — и событию , и событию , 
— и событию , и событию , 
— и , и ; 
— всем трем событиям одновременно. Событию соответствует площадь, отмеченная штриховкой. Обращаясь вновь к геометрическому определению вероятности, найдем
Сравнение формул для двух и трех совместных событий позволяет сделать следующий вывод.
Вероятность суммы нескольких совместных событий 
равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность всех возможных произведений четного числа событий плюс вероятность всевозможных произведений нечетного числа событий.