Решить графически уравнения

Информационная карта к уроку

Тема: Логарифмическая функция.

Цель: познакомиться со свойствами и графиками логарифмической функции и их использованием в различных заданиях.

Ход урока

Краткая историческая справка о Джоне Непере,

Который одним из первых изобрел систему логарифмов.

Джон Непер родился в 1550 в Мерчистон-Касле близ Эдинбурга. В области математики Непер известен главным образом как изобретатель системы логарифмов, основанной на установлении соответствия между арифметической и геометрической числовыми прогрессиями. В «Описании удивительной таблицы логарифмов» он опубликовал первую таблицу логарифмов (ему же принадлежит и сам термин «логарифм»), но не указал, каким способом она вычислена. Объяснение было дано в другом его сочинении «Построение удивительной таблицы логарифмов», вышедшем в 1619, уже после смерти Непера. Таблицы логарифмов, насущно необходимые астрономам, нашли немедленное применение. В 1617 Непер опубликовал еще одну свою работу, Рабдологию (Rabdologia — «счет на палочках»), в которой изложил способ перемножения чисел с помощью особых брусков, получивших впоследствии название «костей Непера». Непер участвовал также в разработке различного рода боевых устройств (зажигательных стекол, артиллерийских орудий и т.д.). Умер Непер в Мерчистон-Касле 4 апреля 1617.

Определение: Функцию, заданную формулой y = logax (где а > 0 и а ≠ 1), называют логарифмической функцией с основанием а.

Построим в одной системе координат график функции y = log_ax при а > 1 и

при 0 < a < 1

Прочитайте по графикам свойства функции y = log_ax

Краткая историческая справка о Леонардо Эйлере,

Который сформулировал современное определение логарифмической функции.

Идеальный математик 18 века – так часто называют Эйлера(1707-1789). Он родился в маленькой тихой Швейцарии. В 1725 году переехал в Россию. Поначалу Эйлер расшифровывал дипломатические депеши, обучал молодых моряков высшей математике и астрономии, составлял таблицы для артиллерийской стрельбы и таблицы движения Луны.

В 26 лет Эйлер был избран российским академиком, но через 8 лет он переехал из Петербурга в Берлин. Там "король математиков" работал с 1741 по 1766 год; потом он покинул Берлин и вернулся в Россию. В 1770-е годы вокруг Эйлера выросла Петербургская математическая школа, более чем наполовину состоявшая из русских ученых. Тогда же завершилась публикация главной его книги – "Основ дифференциального и интегрального исчисления". Современное определение показательной, логарифмической и тригонометрических функций – заслуга Леонардо Эйлера, так же как и их символика.

Упражнения

1. Определите, какие из перечисленных ниже функций являются возрастающими, а какие убывающими?

a) y = log ₃ x;

b) y = log ₂₃ x;

c) y = log _0,5(2 x + 5);

d) y = log ₃(x + 2).

Решить графически уравнения

Решение:

а) lgx = 1 – x

Ответ: х = 1.

3. Используя свойства логарифмической функции, сравнить:

Решение:

а) Логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрастает на всей числовой прямой. Так как 3 < 5, то log ₂3 < log ₂5.

б) Основание меньше 1, поэтому функция у = убывает, следовательно, .

Контрольные вопросы:

1. Напишите определение логарифмической функции.
2. Какая линия является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции?
3. Как монотонность логарифмической функции зависит от основания логарифма?