Доказательство через равнодополняемость

Билеты по геометрии за 9 класс.

1. Треугольник однозначно можно определить по следующим тройкам основных элементов:

1. a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу лежащему между ними);
2. a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
3. a, b, c (равенство по трём сторонам).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. по катету и гипотенузе;
2. по двум катетам;
3. по катету и острому углу;
4. по гипотенузе и острому углу.

2.Свойства:

• Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектриса, медианы и высоты, проведённые из этих углов.
• Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.
• Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые (следует из их равенства).

Признаки:

• Два угла треугольника равны.
• Высота совпадает с медианой.
• Высота совпадает с биссектрисой.
• Биссектриса совпадает с медианой.

3. Параллельные прямые в евклидовой геометрии, прямые, которые не пересекаются.

· Две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Это свойство называется транзитивностью параллельности прямых.

· Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

· Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

На основании этой теоремы легко обосновываются следующие свойства:

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответствующие и накрестлежащие углы равны.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

4. Нера́венство треуго́льника в геометрии и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон. Неравенство треугольника включается как аксиома в определение метрического пространства, нормы и т.д.; также, часто является теоремой в различных теориях.

5. Теорема о сумме углов треугольника — классическая теорема евклидовой геометрии, утверждает, что

Сумма углов треугольника равна 180°.

Пусть ABC' — произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида). Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны прямой BC. Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD. Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.

6. Серединный перпендикуляр (медиатриса) — прямая, перпендикулярная к данному отрезку и делящая его на две равные части.

Свойства

• Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника (или другого описываемого окружностью многоугольника) пересекаются в одной точке — центре описанной окружности.
• Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
• Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

7. Параллелограмм (рис. 1.8)

Свойства сторон и углов:

Свойства диагоналей:

Площадь:

8. Ромб (рис. 1.9)

Свойства сторон и диагоналей:

Площадь:

Прямоугольник (рис. 1.10)

Свойства сторон и углов:

Свойства диагоналей:

Площадь:

Квадрат (рис. 1.11)

Свойства сторон и углов:

Длина диагонали:

Площадь:

Трапеция (рис. 1.12)

Свойства сторон:

Свойства средней линии:

Площадь:

9.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон. Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. Доказательство. Пусть дан Δ ABC и его средняя линия ED. Проведем прямую параллельную стороне AB через точку D. По теореме Фалеса она пересекает отрезок AC в его середине, т.е. совпадает с DE. Значит, средняя линия параллельна AB. Проведем теперь среднюю линию DF. Она параллельна стороне AC. Четырехугольник AEDF – параллелограмм. По свойству параллелограмма ED=AF, а так как AF=FB по теореме Фалеса, то ED =? AB. Теорема доказана.

Доказательство:

Пусть ABCD - данная трапеция. Проведем через вершину B и середину боковой стороны P прямую. E=ADÇ BP.

DPBC=DPED (по второму признаку):
1. СP=DP по построению
2. ÐBPQ=ÐEPD как вертикальные
3. ÐPCB=ÐPDE как внутренние накрест лежащие при AD||BC и секущей CD

Из DPBC=DPED ÞPB=PE, BC=ED. Значит средняя линия PQ трапеции - средняя линия DABE.
По свойству средней линии треугольника - PQ=1/2 AE=1/2(AD+BC) и PQ||AD, PQ||BC.

10. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Докозательство:

Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые AA ₁ | | BB ₁ | | CC ₁ | | DD ₁ и при этом AB = CD.

1. Проведём через точки A и C прямые, параллельные другой стороне угла. Получим два параллелограмма AB ₂ B ₁ A ₁ и CD ₂ D ₁ C ₁. Согласно свойству параллелограмма: AB ₂ = A ₁ B ₁ и CD ₂ = C ₁ D ₁.
2. Треугольники и равны на основании второго признака равенства треугольников:

AB = CD согласно условию теоремы,

как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных BB ₁ и DD ₁ прямой BD.

Аналогично каждый из углов и оказывается равным углу с вершиной в точке пересечения секущих.

1. AB ₂ = CD ₂ как соответственные элементы в равных треугольниках.
2. A ₁ B ₁ = AB ₂ = CD ₂ = C ₁ D ₁ ■

11. Площадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры^[1], неформально говоря, показывающая размер этой фигуры. Исторически вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой. Конкретное значение площади для простых фигур однозначно вытекает из предъявляемых к этому понятию практически важных требований (см. ниже: #Свойства). Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.

Площадь прямоугольника со сторонами a, b вычисляется по формуле S = a*b.

12.

, так как , то:

13. Формулировка:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:

a ² + b ² = c ²

Доказательство через равнодополняемость

1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке 1.
2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.

Обратная теорема Пифагора:

Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a 2 + b 2 = c 2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

14. Первый признак

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

Второй признак

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Третий признак

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.