Колебания в системе с двумя степенями свободы

Лабораторная работа № 22

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ

Цель работы:

Исследование колебаний системы двух связанных маятников. Измерение собственных частот колебаний и частоты биений, экспериментальная проверка соотношения между этими частотами. Исследование зависимости частоты биений от параметров, определяющих связь маятников в системе.

Оборудование:

Два физических маятника, соединенные пружиной и оснащенные датчиками угла поворота, источник питания, электронный блок управления Cobra 3, компьютер.

Продолжительность работы – 4 часа.

Теоретическая часть

Биения

Гармоническими колебаниями называются колебания, которые описываются формулой

, (1)

где - координата колеблющейся точки, - амплитуда колебаний, - циклическая частота, - период колебаний, - начальная фаза. Гармонические колебания совершает, например, маятник при малых амплитудах. Формула (1) является решением дифференциального уравнения

, (2)

в чем нетрудно убедиться, вычислив вторую производную от функции и подставив ее в дифференциальное уравнение (2). Амплитуда колебаний и начальная фаза определяются начальными условиями: координатой и скоростью материальной точки в начальный момент времени.

Некоторые физические задачи сводятся к сложению колебаний. Если суммируются колебания с одинаковыми частотами, то результирующие колебания происходят с той же частотой, а их амплитуда и начальная фаза могут быть найдены, например, с помощью метода векторных диаграмм.

При сложении колебаний с разными частотами возникает сложный, в общем случае, непериодический процесс. Если частоты и складываемых колебаний близки по величине (, где ), то результирующие колебания имеют характер биений – так называют колебания с пульсирующей амплитудой (рис.1).

В качестве примера найдем сумму двух колебаний с одинаковыми амплитудами, начальными фазами, равными нулю, и близкими частотами:

. (3)

Полученное выражение представим в виде

,

где и . Величину можно назвать медленно изменяющейся амплитудой. На рис. 1 приведен рассчитанный по формуле (3) график при , 10 с^-1, с^-1. Периодом биений называют минимальное время, за которое амплитуда колебаний периодически достигает своего минимального (или максимального) значения. Период изменения функции равен , а период биений, как видно из рис. 1, в два раза меньше: .

Рис. 1. График биений, рассчитанный по формуле (3) при , , (сплошная кривая). Штриховая кривая рассчитана по формуле

Определяя частоту биений формулой , получим

, (4)

где , .

Колебания в системе с двумя степенями свободы

Число степеней свободы равно минимальному числу независимых переменных (обобщённых координат , ), необходимых для полного описания движения механической системы. На рис. 2 показаны колебательные системы с двумя степенями свободы. В качестве обобщенных координат и могут фигурировать различные величины, характеризующие положение системы. Например, для случая, изображенного на рис. 2а, в качестве обобщенных координат удобно использовать деформации пружин ( - деформация первой пружины, - деформация второй), а для систем на рис. 2б и 2в – углы отклонения от положения равновесия: , .

Рис.2. Колебательные системы с двумя степенями свободы

Далее ограничимся рассмотрением системы, изображенной на рис. 2б, предполагая, что маятники совершают колебания в одной плоскости, и каждый представляет собой шар массы , закрепленный на легком стержне длины , причем значительно больше радиуса шара (то есть маятники считаются математическими). Расстояние от точки крепления пружины на стержне до его оси вращения обозначим .

Основной вывод, вытекающий из теоретического анализа такой системы (см. Приложение) состоит в том, что она характеризуются не одной, а двумя собственными частотами

, , (5)

где g -ускорение свободного падения, k -коэффициент жесткости пружины.

При малых амплитудах колебательный процесс представляет собой сумму гармонических колебаний с этими собственными частотами:

, (6)

, (7)

Формулы (6), (7) описывают колебания маятников при произвольных начальных условиях, которым соответствуют конкретные значения величин . Рассмотрим три важных специальных случая.

1) Синфазные колебания. Если , то и формулы (6), (7) описывают синфазные колебания маятников с частотой . В этом случае длина пружины при колебании маятников не изменяется, поэтому пружина не оказывает влияния на колебательный процесс и частота синфазных колебаний совпадает с собственной частотой уединенного маятника.

2) Противофазные колебания. Если , то формулы (6), (7) описывают противофазные гармонические колебания маятников с частотой . При этом в любой момент времени углы отклонения маятников отличаются лишь знаком: . Сила упругости, возникающая при деформации пружины, одинаковым образом ускоряет возвращение каждого из маятников к положению равновесия. Поэтому соответствующая частота колебаний больше, чем .

3) Биения. При и получим

, . (8)

Если собственные частоты близки , то формулы (8) описывают биения. При из (8) следует

, , , .

Это означает, что рассматриваемый режим колебаний можно возбудить, если в начальный момент времени оба маятника отпустить без начальной скорости: первый из положения, смещенного от равновесного положения на угол , а второй из положения равновесия.

Для определения частоты биений воспользуемся формулами (5):

и приближенным соотношением . Из этих выражений найдем и

. (9)

Если варьировать начальные условия (углы отклонения маятников и их начальные скорости при ), то можно реализовать различные виды колебаний, частными случаями которых являются три рассмотренных выше; в общем случае происходят колебания с пульсирующей амплитудой.

Описание установки

Установка содержит два маятника, соединенные легкой пружиной (рис. 2б). На оси вращения каждого маятника закреплен датчик угла поворота, подключенный к блоку питания. Информационный сигнал с выхода датчика, пропорциональный углу отклонения маятника от положения равновесия, поступает на входы устройства преобразования «Cobra 3», и после преобразования в цифровую форму поступает в компьютер для обработки.

Датчик угла поворота выполнен на основе резистивного моста (рис.3). Ползунок реостата связан со стержнем маятника. При повороте стержня изменяется соотношение сопротивлений резисторов и, следовательно, напряжение , измеряемое вольтметром. Это напряжение пропорционально углу отклонения маятника. Ручная регулировка второго реостата (верхнего на рис.3) необходима для установки нулевого напряжения в положении равновесия маятника.

Рис. 3. Схема резистивного датчика угла поворота.

Каждый из маятников представляет собой стержень, к которому прикреплен груз в виде диска. Масса груза кг, его диаметр d = 80 мм. Расстояние от центра масс маятника до точки подвеса может изменяться в небольших пределах ( см) вращением узла крепления гири к стержню. При необходимости такой регулировки пригласите преподавателя или инженера.