Лекция №9
Тема: «Расчеты на прочность»
Вопросы:
Допускаемые напряжения
Схема расчета на прочность
Концентрация напряжений
Контактные напряжения
Напряжения смятия
Допускаемые напряжения
При расчете машин нужно пользоваться напряжениями, которые можно без боязни разрушения или значительных пластических деформаций допускать для выбранных материалов. Такие напряжения принято называть допускаемыми напряжениями. Существуют два способа нахождения допускаемых напряжений: аналитический и табличный.
По аналитическому способу сущность расчета по допускаемым напряжениям сводится к обеспечению условия, когда максимальные растягивающие или сжимающие напряжения не превышают допускаемых напряжений 
.
.
Расчет по допускаемым напряжениям раньше использовался и в строительстве, а в настоящее время - только в машиностроении.
По аналитическому методу допускаемые напряжения находят путем деления предельных напряжений на коэффициент запаса прочности:
.
Для хрупких материалов предельным напряжением является предел прочности:
;
для пластичных материалов - предел текучести:
.
Коэффициент запаса k обеспечивает запас прочности детали, так как напряжение не должно достигать 
. Поэтому k>l, причем для хрупких материалов он выше, чем для пластичных, например, для стали k= 1,5, для бетона k=3. Это вызвано тем, что при кратковременном достижении напряжения, равного 
разрушения не происходит и остаточные деформации для пластичных материалов будут незначительны. Для хрупких материалов, если 
, то произойдет разрушение.
Значение коэффициента запаса зависит от трех факторов:
а) точности определения нагрузки и напряжений. В реальных конструкциях нагрузки и напряжения определяются с какой-то долей погрешности. Чем выше погрешность, тем больше значение коэффициента запаса прочности;
б) однородности материала и соответствия технологии обработки. Все материалы имеют неоднородность, кроме того, при изготовлении деталей всегда наблюдаются какие-то отклонения в технологии, чем выше этот фактор, тем больше значение коэффициента запаса прочности;
в) ответственности детали. Одинаковая деталь может выполнять различные функции. Болт может крепить облицовку у автомобиля и крепить нижнюю головку шатуна. Степень ответственности различная. Чем выше ответственность детали, тем больше значение коэффициента запаса прочности.
Табличный способ. Обобщенные значения допускаемых напряжений даются в таблицах справочников. Способ имеет недостаток – не учитывает предыдущие три фактора.
Схема расчета на прочность
При растяжении-сжатии условие прочности запишется:
,
где N - продольная сила в сечении,
- площадь сечения нетто, т.е. за вычетом возможных ослаблений (сверление, выточки и т.п.).
При растяжении сравнивают с допускаемым напряжением на растяжение 
при сжатии - с допускаемым напряжением на сжатие 
. Для пластичных материалов допускаемые напряжения на растяжения и сжатие, как правило, одинаковы и индексов "р" и "с" не ставят.
Исходя из условия прочности, можно решить следующие три задачи:
1. Проверить на прочность. Прочность детали обеспечена, если расчетное напряжение меньше или равно допускаемому. Незначительное превышение (до 5%) расчетного напряжения над допускаемым считается несущественным, и прочность тоже обеспечена.
2. Подобрать сечение (проектный расчет).
.
По значению можно найти диаметр, если брус имеет круглое сечение, или номер сортамента проката (двутавра, швеллера, уголка).
3. Определить допускаемую нагрузку из условия прочности получим:
,
где 
– допускаемая продольная сила. Зная ее величину можно ограничить внешнюю нагрузку.
Концентрация напряжений
Если стержень не имеет резких изменений формы, то при растяжении или сжатии во всех точках его поперечного сечения нормальные напряжения будут одинаковыми.
Если же форма стержня резко меняется по длине, то в местах резкого изменения формы напряжения значительно выше, чем в других точках сечения стержня, т.е. напряжения неравномерны по сечению. Резкое увеличение напряжений из-за изменения формы детали называется концентрацией напряжений. Причины, вызывающие концентрацию напряжений, называются концентратором напряжений.
Рис. 1
Концентрация напряжения отрицательно влияет на прочность хрупких материалов. Их прочность снижается во столько раз, во сколько раз увеличивается местное напряжение.
При статических нагрузках концентрация напряжений практически не влияет на прочность детали. При достижение местных напряжений значения предела текучести материал приобретает пластическую деформацию, напряжения в сечении выравнивается и разрушение не произойдет, отверстие приобретет овальность. При переменных напряжениях концентрация напряжений отрицательно влияет на прочность, как для хрупких материалов, так и для пластичных. Это вызвано тем, что при переменных напряжениях происходит усталостное напряжение.
На рис. 1 показан плоский стержень с круглым отверстием и эпюра напряжений в сечении mn. Вид этой эпюры устанавливается опытным путем либо на основании решений теории упругости. Как видно из рисунка, распределение напряжений весьма неравномерное. Обозначая толщину пластины через а можно вычислить расчетное напряжение:
,
где - площадь сечения mn.
Если максимальное напряжение разделить на расчетное, то получим так называемый теоретический коэффициент концентрации напряжений 
:
Теоретический коэффициент концентрации напряжений, определяемый в предположении, что материал при деформации следует закону Гука, во многих случаях не дает правильного представления о влиянии концентрации напряжений на прочность элемента конструкции. Если бы материал вплоть до разрушения следовал закону Гука, то прочность элемента конструкции при наличии концентрации напряжений была бы меньше в раз. Опыты показывают, что для большинства материалов снижение прочности получается меньше, чем в раз. Это снижение определяется экспериментально, как отношение пределов прочности с концентратором напряжений и без концентратора:
,
где 
- предел прочности материала с концентратором напряжений.
Коэффициент 
называется эффективным коэффициентом концентрации напряжений. Его значения даются в справочнике.
Для уменьшения концентрации напряжений резкие переходы форм заменяют плавными, округлыми, причем, чем больше радиус закругления, тем меньше и . Для снижения высоких местных напряжений у трещин и предупреждения их дальнейшего развития высверливают концы этих трещин.
При проектировании конструкций следует избегать резких изменений очертаний элементов, приводящих к значительной концентрации напряжений.
Контактные напряжения
Если первоначально взаимодействие двух тел происходит в точке или по линии, то возникающие напряжения называются контактными. Контактные напряжения довольно распространены. Например: при воздействии колеса вагона на рельс, шарика и ролика подшипника. В результате воздействия одного тела на другое контакт с точки или линии переходит в небольшую площадку из-за деформации тел.
На площадке контакта будут возникать нормальные напряжения. Максимальное напряжение всегда находится в центре площадки.
Для пластичных материалов наиболее опасными являются касательные напряжения, возникающие на глубине 1/4d площадки и равная 
.
Касательные напряжения приводят к выщелушиванию материала.
Напряжения смятия
Если первоначально контакт двух тел происходит по небольшой площадке, то возникающие напряжения называются напряжениями смятия. Примерами тел, работающих на смятие, являются болты, заклепки, штифты, шпонки и т.д.
Рассмотрим пример. Считаем, что напряжения смятия одинаковы по всей площади смятия.
,
где 
– площадь смятия; 
– напряжение смятия.
.
Для обеспечения прочности при смятии необходимо, чтобы возникающее напряжение смятия не превышало допускаемое напряжение на смятие.
; 
.