Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах.
Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах
непрерывна на 
Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями 
Пусть 
– разбиение отрезка на элементарные отрезки 
; 
; 
.
Рассмотрим площадь 
части фигуры, удовлетворяющей условию 
. Пусть 
и 
– соответственно наименьшее и наибольшее значения функции 
на 
заключена между площадями прямоугольников с высотой и 
Сложим по 
от 
до 
:
Т.е.
где 
– интегральные суммы, соответствующие разбиению и выбору точек 
и 
соответственно (нижняя и верхняя интегральные суммы Дарбу); при 
Из (1.9.1) получаем: 
Замечания:
1. 
(см. рис. 19.)
Рис. 19
2. 
(см. рис. 20).
Рис. 20
3. 
(см. рис. 21).
Рис. 21
Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах.
Рассмотрим кривую, 
, где функция 
непрерывна на 
.
Рис. 22
Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями 
. Пусть – разбиение :
Рассмотрим площадь части фигуры, удовлетворяющей условию 
(см. рис. 22). Пусть и – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции 
:
.
заключена между площадями круговых секторов радиусов и :
Сложим по от до :
Т.е.
где 
– интегральные суммы функции 
, соответствующие разбиению и выбору точек 
и 
соответственно (нижняя и верхняя интегральные суммы).
При из (1.9.2) получаем: 
.
Замечания:
1. 
(см. рис. 23).
Рис. 23
2. 
(см. рис. 24).
Рис. 24
Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения.
Рис. 25
Рассмотрим в пространстве тело 
, каждая точка 
которого удовлетворяет неравенству 
. Пусть площадь сечения плоскостью 
равна 
непрерывна на 
. Найдем объем 
тела . Зафиксируем 
. Рассмотрим малое 
. Рассмотрим часть (слой) тела 
, соответствующий отрезку 
. Объем этой малой части 
приблизительно (c точностью до бесконечно малых выше первого порядка относительно 
равен объему цилиндра с площадью основания 
и высотой 
Суммируя по всем таким тонким слоям, получаем
Объемы тел вращения.
Рис. 26
Фигура, ограниченная линиями 
, вращается вокруг оси 
(см. рис. 26).
Найдем объем 
тела вращения. Зафиксируем . Сечение тела плоскостью – круг радиуса 
. Тогда
Ту же фигуру вращаем вокруг оси 
(см. рис. 27).
Рис. 27
Рассмотрим малый отрезок 
, где . При вращении соответствующей части фигуры получаем тело объема 
, где 
– площадь кольца радиусов 
и 
соответственно:
Тогда
Суммируя по тонким "слоям", получим
Общий случай:
Таким образом получаем для вращения фигуры, ограниченной линиями 
, имеем
При вращении фигуры, ограниченной линиями 
(см. рис. 28).
Рис. 28
Вычисление длин дуг кривых и площадей поверхностей вращения
Длина дуги кривой.
Пусть дуга 
задана параметрическими уравнениями:
Функции 
имеют на непрерывные производные.
, 
Рассмотрим переменную точку 
– переменная дуга длиной 
.
Дифференциал дуги
– длина всей дуги.
Случай плоской кривой:
Случай графика функции 
:
Случай кривой, заданной в полярных координатах:
Площадь поверхности вращения.
Рис. 29
Рассмотрим функцию 
– непрерывна на 
Пусть – дуга графика 
– вращается вокруг оси . Рассмотрим ломаную 
, вписанную в дугу , где 
(см. рис. 29).
При вращении вокруг звена ломаной 
получим боковую поверхность усеченного конуса.
Опр. Площадью поверхности вращения называется предел сумм площадей боковых поверхностей усеченных конусов, полученных при вращении вписанной ломаной, при стремлении к 
максимальной длины звена ломаной.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований 
и 
и образующей 
равна
В данном случае
, 
Тогда площадь боковой поверхности усеченного конуса, полученной при вращении звена ломаной 
Отсюда площадь поверхности вращения
или
(при 
надо брать 
).
Случай кривой, заданной параметрическими уравнениями:
Случай кривой, заданной в полярных координатах:
Аналогично при вращении вокруг оси :
Случай произвольной оси вращения:
– расстояние от переменной точки кривой до оси вращения; 
– дифференциал дуги.