Задания ПО РАЗДЕЛУ «теория вероятностей и математическая статистика»

Задание 24. Решить задачи на определение вероятности случайного события.

2.24.1.

а) В коробке 20 конфет, 12 с шоколадной начинкой, остальные со сливочной. Наугад берут 3 конфеты. Найти вероятность того, что попадется одна со сливочной начинкой.

б) Студент разыскивает нужную ему формулу в трёх справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, во втором и в третьем справочниках соответственно равны: 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что нужная формула окажется хотя бы в одном справочнике.

2.24.2.

а) Брошены три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков не больше 16.

б) На искусственном спутнике Земли установлено два различных прибора для измерения одной и той же величины. Для первого прибора вероятность его безотказной работы в течение месяца равна 0,9; для второго – 0,7. Определить вероятность того, что один прибор выйдет из строя в течение месяца.

2.24.3.

а) На складе имеется 20 аккумуляторов, причем 15 из них изготовлены Тюменским аккумуляторным заводом. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых пяти аккумуляторов – 3 аккумулятора Тюменского завода.

б) Петя купил по одному лотерейному билету трех различных лотерей. Вероятности хоть какого-либо выигрыша в этих лотереях соответственно равны: 0,2; 0,3; 0,25. Найти вероятность того, что у Пети два билета - выигрышные.

2.24.4.

а) Какова вероятность того, что последняя цифра случайно набранного телефонного номера равна пяти или кратна трем?

б) Производится по одному выстрелу из трех орудий. Вероятности попадания в цель для первого орудия – 0,25, для второго – 0,8, для третьего – 0,4. Найти вероятность попадания в цель ровно двумя орудиями.

2.24.5.

а) В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, среди отобранных студентов окажутся 5 отличников

б) Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, а второй – только 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Найти вероятность того, что правильно ответит хотя бы один из студентов.

2.24.6.

а) Наудачу взятый телефонный номер состоит из шести цифр. Какова вероятность, что в нём все цифры различные?

б) Вероятность выполнить месячный план по заготовке молока у одного фермера равна 0,95, а другого фермера – 0,97. Какова вероятность того, что месячный план будет выполнен только одним фермером?

2.24.7.

а) На олимпиаду по математике в ВУЗе подали заявки 15 человек с первого курса и 12 человек со второго курса. Какова вероятность того, что среди трех призовых мест два займут студенты первого курса?

б) Вы останавливаете наугад на улице трех человек и спрашиваете, в какой день недели они родились. Какова вероятность того, что хотя бы один из них родился в понедельник?

2.24.8.

а) В лотерее 1000 билетов. Из них на один билет попадает выигрыш 5000 руб., на 10 билетов — выигрыш по 1000 руб., на 50 билетов — выигрыш по 500 руб., остальные билеты невыигрышные. Куплен один билет. Найти вероятность выиграть не менее 1000 рублей.

б) Узел содержит три независимо работающих детали. Вероятность отказа деталей соответственно равны 0,1; 0,2; 0,3. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы две детали.

2.24.9.

а) Из колоды в 36 карт наугад вынимают 5 карт. Какова вероятность того, что среди них не будет карты пиковой масти?

б) Покупатель ищет необходимую ему вещь, обходя три магазина. Вероятность наличия в магазине №1 равна 0,2; в магазине №2 – 0,3; в магазине №3 – 0,1. Какова вероятность того, что необходимая покупателю вещь продается хотя бы в одном магазине?

2.24.10.

а) В ящике находится 30 деталей, из них 25 первого сорта, остальные – второго сорта. Наудачу последовательно вынимаются три детали. Какова вероятность того, что из них две детали окажутся первого сорта?

б) Игорь посадил 3 дерева. Вероятность того, что деревья приживутся, соответственно равны: для первого дерева – 0,9; для второго – 0,7; для третьего – 0,6. Найти вероятность того, что приживутся только два дерева.

Задание 25.

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Требуется:

1) построить многоугольник распределения;

2) найти функцию распределения F (x) и построить ее график;

3) найти математическое ожидание М (Х),дисперсию D (Х), среднее квадратическое отклонение σ (Х)).

Задание 26.

Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией распределения F (x). Требуется

1) найти дифференциальную функцию распределения f (x) (плотность вероятности);

2) построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения;

3) найти вероятность попадания значений случайной величины Х в заданный интервал P(α<X<β);

4) вычислить числовые характеристики М (Х), D (Х), σ (Х).

2.26.1.
2.26.2.
2.26.3.
2.26.4.
2.26.5.
2.26.6.
2.26.7.
2.26.8.
2.26.9.
2.26.10.

Задание 27.

Из генеральной совокупности извлечена выборка. Данные наблюдений сведены в группы и представлены в виде дискретного вариационного ряда, где первая строка – середины частичных интервалов , вторая строка – соответствующие им частоты . Требуется выполнить статистическую обработку экспериментальных данных по следующей схеме:

1) Построить выборочную (эмпирическую) функцию распределения .

2) Построить полигон и гистограмму относительных частот.

3) Найти числовые характеристики выборки: выборочную среднюю , выборочное среднее квадратическое отклонение , исправленное среднее квадратическое отклонение .

4) Сделать предварительный выбор закона распределения по виду гистограммы и полигона относительных частот.

5) Проверить с помощью критерия согласия Пирсона гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности при уровне значимости .

6) В случае принятия гипотезы о нормальном законе распределения найти интервальные оценки параметров нормального распределения (доверительную вероятность принять равной ).

Вычисления проводить с точностью до 0,001.

2.27.1.

2.27.2.

2.27.3.

2.27.4.

2.27.5.

2.27.6.

2.27.7.

2.27.8.

2.27.9.

2.27.10.