Оценочные средства к экзамену
III семестр
| Задание | Проверяемый результат | Максимальный балл | |
| Образец экзаменационного билета | |||
| 1. Вычеты функции и способы их вычисления. Основная теорема Коши о вычетах. | ОПК2.Р1.П5 ОПК2.Р3.П1 | ||
| 2. Неоднородные линейные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. | ОПК2.Р1.П4 ОПК2.Р3.П1 | ||
3. Решить задачу Коши
 .
| ОПК2.Р2 ОПК2.Р3.П3 | ||
4. Найти область сходимости ряда
| ОПК2.Р2 | ||
5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности z =0 функцию  .
| ОПК2.Р2 | ||
| Итоговый балл | 0¸10 | ||
Критерии оценки заданий 1 и 2:
2 – полный и точный ответ на поставленные в заданиях вопросы, логичность изложения материала;
1 – неполное изложение, предложенного в заданиях теоретического материала, знание основных положений;
0 – в остальных случаях.
Критерии оценки заданий 3 и 4:
3 – задание выполнено верно,
2 – имеются незначительные арифметические или логические погрешности, описки,
1 – задание не выполнено, но имеется правильный подход к решению,
0 – в остальных случаях.
Шкала оценивания:
| Итоговый балл | 0¸4 | 5¸6 | 7¸8 | 9¸10 |
| Оценка |
Методика проведения: проводится в аудитории для практических занятий, используется сочетание письменного метода контроля и устного опроса, время выполнения задания – в течение 60 минут, задания выполняются без использования справочной литературы и средств коммуникации, результат сообщается сразу.
Набор контрольных заданий
Теоретические вопросы к экзамену:
1. Основные сведения о дифференциальных уравнениях. Основные уравнения 1-го порядка, интегрируемые в квадратурах. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия. Методы понижения порядка.
3. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка. Основные свойства.
4. Однородные и неоднородные линейные уравнения n -го порядка. Метод Лагранжа.
5. Линейные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами.
6. Системы дифференциальных уравнений. Начальная задача. Нормальная линейная система. Метод исключения.
7*. Понятие устойчивости решения дифференциального уравнения. Простейшие типы точек покоя.
8. Понятие функции комплексного переменного. Область и линия на комплексной плоскости. Предел и непрерывность. Дифференцируемость.
9. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Построение сопряженной гармонической функции.
10*. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном отображении.
11*. Элементарные функции комплексного переменного (ez, sin z, cos z, tg z, Ln z, za, az).
12. Контурные интегралы от функции комплексного переменного.
13. Теорема Коши. Случаи односвязной и многосвязной области. Неопределенный интеграл.
14. Интегральная формула Коши. Производные высших порядков от аналитической функции.
15. Контурные интегралы от функции комплексного переменного.
16. Теорема Коши. Случай односвязной и многосвязной области. Неопределенный интеграл.
17. Интегральная формула Коши. Производные высших порядков от аналитической функции.
18. Числовые ряды. Свойства числовых рядов. Абсолютная и условная сходимость.
19. Признаки абсолютной и условной сходимости числовых рядов.
20. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Дифференцирование и интегрирование функциональных рядов. Ряды аналитических функций.
21. Степенные ряды на комплексной плоскости. Теорема Абеля. Радиус сходимости.
22. Ряд Тейлора. Теорема Тейлора. Разложение основных элементарных функций.
23*. Приложения степенных рядов: решение дифференциальных уравнений, интегрирование функций, вычисление сумм числовых рядов. Уравнение и функции Бесселя.
24. Ряд Лорана. Теорема Лорана. Изолированные особые точки функции и их классификация.
25. Вычеты функции и способы их вычисления. Основная теорема Коши о вычетах функции.
26. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов.
27. Линейные функциональные пространства. Банахово и гильбертово пространство. Ортогональные и ортонормированные системы функций. Полнота.
28. Ортогональные разложения (ряд Фурье). Неравенство Бесселя. Тождество Парсеваля.
29. Тригонометрические системы функций. Ряды Фурье и их свойства. Комплексная форма ряда Фурье. Теорема Дирихле.
30. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье. Действительная форма преобразования Фурье: косинус- и синус-преобразования.
Примеры практических заданий к экзаменационным билетам:
1. Решить дифференциальное уравнение 
.
2. Найти вычет функции 
относительно особой точки.
3. Решить систему 
.
4. Разложить функцию 
в ряд по синусам.
5. Найти вычеты функций в их особых точках
, 
.
6. Вычислить 
, где контур L – соединяет точки z 1 = 0 и z 2 = 1+ i.
7.Вычислить интеграл 
.
8. Решить дифференциальное уравнение
, 
, 
.
9. Восстановитьфункцию f (z)= u + iv, если v = ln(x 2 + y 2) + x –2 y.
10. Найти область сходимости степенного ряда
.