Измерения и обработка результатов измерения.

Теоретическое введение

Моментом инерции J материальной точки относительно какой-либо оси называется произведение массы т этой точки на квадрат расстояния её r до оси:

J = mr²

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен сумме моментов инерции всеx материальных точек тела относительно этой оси:

J =

Для тела с плотностью r момент инерции вычисляется интегрированием:

J = dV,

где dV - элемент объема.

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела, для которого J = const, запишется так:

, (1)

где – вращающий момент, J – момент инерции тела, – угловое ускорение. Из (1) вытекает физический смысл момента инерции:

момент инерции является физической величиной, характеризующей величину ускорения тела под действием вращающего момента.

Закон (1) можно записать и в другом виде:

Вращающий момент равен скорости изменения момента импульса тела, к которому приложен этот вращающий момент . ВекторJ w называется моментом импульса тела. Направление J w совпадает с направлением угловой скорости w.

Если точка, вращается по окружности с линейной скоростью v = wr, то модуль момент импульса точки Jw = mr²v/r = mvr.

Вращающееся тело обладает кинетической энергией вращательного движения:

E=Jw ²/2

Если сопоставить законы поступательного и вращательного движения, то легко видеть, что момент инерции во вращательном движении выполняет роль массы в поступательном движении, а момент силы - роль силы. Как масса тела характеризует инертность тела в поступательном движении, так момент инерции характеризует инертность тела во вращательном движении.

Математическая запись законов поступательного и вращательного движений дана в таблице.

Поступательное движение	Вращательное движение
Путь	S	Угловое перемещение	Dj
Линейная скорость	V=ds/dt	Угловая скорость	w = d j/ dt
Линейное ускорение	a=dV/dt; a=d2s/dt2	Угловое ускорение	e =dw / dt; e =d2 j/ dt2
Масса	M	Момент инерции	J
Сила	F	Момент силы	M
Импульс	MV	Момент импульса	Jw
Второй закон динамики	F=	Второй закон динамики	M=
Закон сохранения импульса	const	Закон сохранения момента импульса	const
Работа	A = Fs	Работа	A = m j
Кинетическая Энергия	E = m v2/2	Кинетическая Энергия	e = J w2/2

Теория метода и описание установки, момент инерции махового колеса и силу трения вала В в опоре можно определить при помощи прибора, изображенного на рис. 1. Прибор состоит из махового колеса А, насаженного на вал В. Вал установлен на шарикоподшипниках C₁и С ₂Маховое колесо приводится во вращательное движение грузом Р. Груз Р на какой-то высоте h₁ обладает потенциальной энергией mgh ₁, где т — масса груза.

Если предоставить возможность грузу Р падать, то потенциальная энергия mgh ₁ перейдет в кинетическую энергию поступательного движения груза mv²/2, кинетическую энергию вращательного движения прибора Jw²/2 и на работу А= f h ₁ по преодолению силы трения f в опоре.

По закону сохранения энергии

mgh ₁= mv²/2 + Jw²/2 + fh ₁, (1)

где f – сила трения.

Движение груза равноускоренное без начальной скорости, поэтому ускорение a и скорость v равны соответственно:

а = 2h₁/t², v = 2h₁/t (2)

где t- время опускания груза с высоты h ₁. Найдем угловую скорость маховогo колеса по формуле

w = v / r = 2h₁/(tr) (3)

.где г - радиус вала В.

Сила трения f вычисляется следующим образом. Колесо, вращаясь по инерции, поднимает груз на высоту h₂ < h₁ и потенциальная энергия груза, на высоте h₂будет mg h₂. Уменьшение потенциальной энергии при подъеме груза равно работе по преодолению силы трения в опорах С₁ и С₂, т. е.

mgh ₁ – mgh ₂ = f (h ₁ + h ₂).

Откуда

f = mg (h ₁ – h ₂)/(h ₁ + h ₂).(4)

Подставляя в формулу (1) значения v, w и f из (2), (3) и (4), получим окончательное выражение для вычисления момента инерции махового колеса:

J = mr² (gt ² – 1) (5)

 

Измерения и обработка результатов измерения.

1. Измеряют штангенциркулем диаметр вала.

2. На технических весах определяется масса груза m (с точностью 0,1 г).

3. Наматывают на вал В шнур и поднимают груз до высоты h ₁.

4. Опускают платформу Е (рис. 1), одновременно включая секундомер, и измеряют время падения груза с высоты h ₁.

5. Определяют высоту h ₂, на которую поднимается груз после опускания.

6. Вычисляют момент инерции махового колеса и силу трения в опоре по формулам (4)и (5).

Полученные результаты сводятся в таблицу.

т = r =

№ опыта	h 1	h 2,	t	F	J	DJ = |J- |	/ × 100%
Средние значения	X	X	X