Характеристическое уравнение замкнутой САУ

ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ

λ

1. Исследовать одноконтурную САУ при заданных передаточных функциях составляющих ее элементов.

φ

-

φg

+

Рис. 1.1 Структура одноконтурной САУ

 

Здесь:

W_p(p), W_c(p), W_o(p), W_н(p) - передаточные функции:

регулятора, исполнительного механизма, объекта регулирования, датчика соответственно.

φ, φ₃, φ_g - заданное, действительное и измеренное значения регулируемой величины соответственно;

λ - возмущающее воздействие.

При выполнениии задания вид передаточных функций определяют по последней цифре номера зачетной книжки, а значения коэффициентов по предпоследней.

 

Таблица 1.1

Значения передаточных функций звеньев САУ

№/пп	Wн(p)	Wc(p)	Wp(p)	Wo(p)

 

 

Таблица 1.2

Значения коэффициентов передаточных функций

№	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Kо	1,6	1,1	1,8	2,1	1,6	1,9	2,8	3,2	1,4	0,9
То
Т
Kр
Тн
Тg
Kс	0,1	0,4	0,3	0,7	0,9	1,8	1,2	0,9	2,0	1,7
Тс
Ни	1,2	1,2	1,2	1,2	1,2	1,2	1,2	1,2	1,2	1,2
Т1

 

 

1.1. Рассчитать передаточные функции разомкнутой и замкнутой САУ по каналам возмущающего воздействия λ и задания φ_{3 .}

1.2. Выполнить анализ устойчивости замкнутой системы с применением алгебраического и частотного критериев устойчивости.

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Передаточные функции соединения звеньев САУ

Звенья САУ могут соединяться последователь­но и параллельно. Последовательное соединение такое, при котором выход предыдущего звена является входом последующе­го. В этом случае передаточная функция цепочки звеньев равна произведению их передаточных функций.

Рис. 2.1 Последовательное соединение звеньев САУ

 

Результирующая передаточная функция равна отношению операторного изображения выходной величины к операторному изображению входной при нулевых начальных условиях

(2.1)

 

При параллельном включении звенья имеют общий вход, а выходной сигнал цепочки равен сумме выходных сигналов отдельных звеньев.

Рис. 2.2 Параллельное соединение звеньев САУ

 

Для этой схемы результирующая передаточная функция равна сумме передаточных функций отдельных звеньев и имеет вид:

(2.2)

Для замкнутых САУ характерно так называемое встречно-параллельное включение или соединение с обратной связью.

 

Рис. 2.3 Соединение с обратной связью

 

В этом случае результирующая передаточная функция равна дроби, числитель которой передаточ­ная функция прямой связи, а знаменатель - единица плюс или минус передаточная функция разомкнутого контура. Знак плюс соответствует отрицательной, а минус - положительной обратной связи.

(2.3)

Под прямой связью понимается передаточная функция между искомыми переменными по направлению прохождения сигнала без учета главной обратной связи. В рассматриваемой схеме передаточная функция прямой связи между λ и φ равна W_o(p), а между φ₃ и φ – W_p(p)W_c(p)W_o(p). Передаточная функция прямой связи между φ₃ и ε равна едини­це. Поэтому

 

 

где - передаточная функция разомкнутой САУ.

Пусть задано:

Выполняя несложные преобразования, определим

(2.4)

где

b₀=K_cK_нK_pT_н, b₁=K_cK_н,

a₀= T²₂T_н, a₁=T₁T_н,

a₂=T_н, a₃=0.

 

 

Для замкнутой системы передаточная функция по каналу равна:

(2.5)

 

 

Характеристическое уравнение замкнутой САУ

Для анализа устойчивости САУ необходи­мо знать характеристическое уравнение замкнутой системы. Оно получается, если приравнять знаменате­ль передаточной функции замкнутой системы нулю, т.е.

1+W_раз(p)=0

Если W_раз(p)=B(p)/A(p), то

1+B(p)/A(p)=0=A(p)+B(p)

Известно правило, что при известной передаточной функции разомкнутой системы, характеристическое уравнение замкну­той системы получают сложением полиномов числителя и знаменате­ля и приравниванием полученной суммы нулю, A(p)+B(p)=0

В рассматриваемом примере (2.4)

Здесь

B(p)=K_cK_нK_pT_нp+K_cK_н,

A(p)=T_нT₂²p³+T_нT₁p²+T_нp.

Сложив их, получают в общем виде характеристическое уравнение замкнутой системы:

T_нT₂²p³+T_нT₁p²+(T_н+K_cK_нK_pT_н)p+K_cK_н=0. (2.6)