Все дети разные
Впрочем, так же, как и все взрослые. Кто-то в 5 лет отлично и без запинок читает предложения почти любой длины, а у кого-то будут сложности с восприятием текста вплоть до третьего класса. Так же и счётными навыками, например, самые престижные и известные московские лицем уже за год до первого класса могут требовать от своих подготовишек умения складывать и вычитать в пределах двадцати. Далее, некоторые шестилетки без проблем занимаются по 90 минут с маленьким перерывом. А кто-то и во взрослом возрасте устаёт к концу 60-минутного занятия по математике.
Тем не менее, можно выделить общие черты, характерные для восприятия информации детей возраста 6-8 лет.
У маленького ребенка не хватает житейского опыта
Даже взрослый ученик может не знать многих понятий из окружающего мира, что говорить про маленького ребенка. Так, решая задачу, маленький ученик может не знать, что такое весы, или быть не знаком с каким-то термином. Страшного в этом ничего нет, вы занимаетесь математикой, процессом, а не осуществляете контроль знаний. В ходе объяснения задачи нужно будет проговорить, что такое весы, как их используют, какой у них принцип работы.
Выясните, что с ребенком уже проходили
Если ученик уже ходит в школу, то может знать названия арифметических действий, понимать, что значит увеличить или уменьшить число на сколько-то единиц, знать о чётности и нечетности чисел. Тем не менее, важно быть готовым объяснить этот материал еще раз.
Р ебенок может плохо читать
Это, увы, может случаться и в третьем классе, и уж наверняка бывает с шестилетками. Умение извлекать информацию из письменного текста является важнейшим навыком. Но, если ребенок едва научился читать и делает это по слогам и с запинками, то извлекать информацию самостоятельно из объёмных предложений ему будет трудно. Некоторые задания, предлагаемые школьникам начальных классов нарочно так устроены: требуется разобраться в тексте непростой структуры, установить свзязи во взамоотношениях, внимательно проанализировать текст и т.д. Ребенок начинает читать запутанный текст, спотыкается, запинается, не может запомнить условие – печальное слушание. Поэтому, подобные задания всё-таки более актуальны для ребят, хорошо научившихся чтению, в том числе, чтению про себя. Так же старайтесь формулировать письменные задания максимально корректно и однозначно: если не прописаны точки у буквы ё, то ребенок так и прочтёт: чЕтный. Так же не используйте сокращений типа рис., 1-ый, см, км. Ребенок не сможет их прочесть. Шрифт, которым Вы набираете задания, тоже нужно выбирать покрупнее.
Логические операции развиваются постепенно
Корифеем психологической науки, систематизировавшим логические операции и изучившим происходящие при этом психические процессы, был и остаётся Жан Пиаже. Согласно разработанной им классификации, окончательно все логические операции у ребенка формируются к подростковому возрасту, 11-15 лет (и это в лучшем случае, в худшем же, свидетелями чего мы нередко становимся, - не сформируются никогда). Речь идёт о формальных логических операциях: способности к гипотетико-дедуктивным рассуждениям, абстрактным рассуждениям, использованию символики. Кстати, с процессом развития именно логической составляющей интеллекта Жан Пиаже связывает рождение личности. Что, конечно, может быть спорным, хоть внутренне математики, думаю, согласятся. Итак, от маленького ребенка, младшешкольника и тем более дошкольника не стоит ждать умения мыслить в понятиях, рассуждать формально математически корректно и т.д. Это то самое, чем маленький ребёнок отличается от взрослого человека принципиально, и перепрыгнуть это звено пятилетнему ребёнку так же невозможно, как стремительно вырасти физически и принять облик взрослого человека.
Забавный случай на эту тему описывает Звонкин. Его сын (будущий учёный математик, кстати говоря) в возрасте около трех лет никак не мог понять, почему четырех людей нельзя усадить на три стула. К ним пришли гости, и ребенок долго бегал вокруг злополучных стульев, пытаясь вот-вот найти решение и оптимальную рассадку. Дальше же Звонкин поясняет, что мальчику достаточно было всего лишь подрасти до возраста пяти лет, как вопрос для него разрешился сам собой и стал очевиден. Нужно было просто подождать.
Психология взаимоотношений учитель-ученик
Здесь, как в любом другом случае, важен авторитет учителя. Чем младше ученик, там более чуток он к наличию или отсутствию этого авторитета у педагога. Писательница Агата Кристи очень занимательно описывает гувернантку своей дочери: “У меня создалось другое впечатление о ней: заторможенная, хоть и доброжелательная, ленивая и неинтересная — тот самый тип людей, которым решительно не дано справляться с детьми…Я не могла поверить своим глазам и лишь тогда поняла то, что другие воспитатели понимают интуитивно: ребенок, как собака, как любое животное, признает авторитет. У Марсель не было никакого авторитета.” Возможно, сравнение ребенка с собакой кого-то покоробит, но лично мне эти замечания кажутся крайне полезными. «Апатичный, ленивый, неинтересный и без авторитета» - вот наилучшая характеристика самого плохого педагога, которая мне встречалась.
Какие темы использовать, чем наполнять содержание занятий?
Пособий и книг для занятий с дошкольниками и первоклассниками существует одновременно много и немного. Много написано по количеству, а вот разнообразных заданий не так много, и их удобно рассматривать в структуре своего содержания.
Как проводить занятия, с чего начать?
Какие бы интересные задачи вы ни подготовили для маленького ученика, первые уроки разумно начинать с разговора и общения. Это 11-классника можно посадить за стол и без обиняков вручить тест, взрослый человек приспособлен к формату деятельности, осознаёт его. Маленький ученик не знает, чего ему ожидать от ситуации, может бояться писать и т.д. Во время разговора, заодно, можно выяснить, знаком ли ребенок с обсуждаемым понятием, как он рассуждает. Таким образом, можно из любой подготовленной заранее задачи сделать интересный разговор.
1. АРИФМЕТИКА
Это ни в коем случае не пособие именно по арифметике: если у нашего ученика трудности именно со счётом, то это само по себе потребует очень подробного и отдельного разговора, с оттачиванием навыков регулярными упражнениями. До разговора об арифметике следует внимательно обсудить само понимание натурального ряда. Существуют разные аспекты в понимании человеком натуральных чисел.
- Порядковый - так при пересчёте мы даём наименования предметам – первый, второй, и т.д.
- Количественный аспект – когда мы хотим сообщить информацию о некой натуральной мере совокупности предметов, (есть семь чашек, класс из тридцати учеников, и т.д. Здесь мы отвечаем на вопрос «Сколько?»
- Метрический аспект, когда мы связываем число с координатой на луче. Этой моделью натурального ряда мы пользуемся, когда делаем измерения линейкой. В такое модели число 5 – это расстояние от метки 0 до метки 5.
Методисты отдельно выделяют операторный аспект – когда мы вычисляем выражения, решаем примеры, мы имеем дело с асбcтрактным представлением числа, числами в «чистом виде». Похоже, это всё же не отдельный аспект понимания натурального ряда, так как абстрагирование от материализации числа существует над всеми моделями.
Удобно сохранить соотнесение с определенными моделями и впоследствии, при изучении арифметики.
Что значит научить ребенка считать?
Это, во-первых, означает понимание того, как устроен числовой ряд.
· Умение считать по порядку. Первый ученик, второй, третий, и так далее. Это порядковый аспект.
· далее считаем количества: одна конфета, две конфеты, три конфет. При этом ребёнок должен показывать именно те количества, которые озвучил, каждый раз увеличивая размер множества на один.
· Теперь работаем с линейкой. 1 – это расстояние от нуля до метки единичка, 2 – расстояние от нуля до метки двойка. Можно не показывать расстояние от нуля до числа, а само число. Тогда это уже другая модель, отождествляющая число с меткой на оси. Такие тонкости и корректности не обязательно должен различать ученик, ведь он совсем маленький и не умеет рассуждать строго. Но преподаватель, думается, должен чётко понимать, что к чему.
· Знать названия чисел и способы образования чисел в десятичной системе: что такое десятки, сотни, тысячи и т.д. (Заодно можно попробовать доказать, что не существует самого большого числа).
Далее, наконец, начинается настоящая арифметика.
· Сложение в количественном аспекте – это классическое «если у меня есть два яблока, и ты мне дашь еще три, то сколько станет у меня всего». Сложение в метрической модели – отсчитываем от двойки на линейке три единичных отрезка – заодно, сразу получаем результат.
· Сложение в метрическом аспекте: к 5 прибавить 3 это отложить от метки «5» 3 единичных отрезка вправо. Вычитание в метрическом аспекте: от метки 5 откладываем 3 единичных отрезка влево. Получаем метку два.
При изучении любого аспекта важно осознать, что прибавить единичку означает получить следующее число натурального ряда, вычесть один – получить предыдущее число. Всё это, как правило, понимается ребенком интуитивно. Что и говорить, считать нас учили родители, не всегда являющиеся преподавателями, учили зачастую без строгого подхода, между делом и играми. Ребёнок в своем маленьком возрасте способен постичь очень много, и это здорово. Например, пытаться объяснить начала арифметики взрослому человеку во много раз труднее, (а подчас и вообще невозможно – знаем по опыту). Необязательно проходить непременно все шаги, изучать все аспекты. Но, если где-то возникла заминка, надо знать, как можно её устранить. Для этого и существует чёткое понимание отдельных шагов.
Теперь, когда матчасть по части чисел и операций усвоена, время немедленно приступить к активному оттачиванию арифметических навыков. Складываем деньги, вычитаем карандаши. Наша задачи:
1) Выучить состав числа 10, а затем 20
2) Усвоить, что сложение коммутативно и ассоциативно.
Запоминаем состав числа, и, тут нет необходимости ограничивать себя двумя десятками. 95+3, 98-5 – вполне подходящие для тренировки примеры. А также считаем десятками, 10, 20, 30, 40.., пятерками 5, 10, 15, 20, сотнями и т.д.
Разобраться с переходом через десяток, применяя свойства сложения и опираясь на состав числа 10.
5+6=5+5+1, 17+4=17+3+1 и т.д.
Здесь так же всё будет зависеть от опыта конкретного ребенка. Если Вы работаете с пятилеткой, который до этого никогда не слышал ничего о названиях чисел и ничего не пытался складывать (что бывает), то начальной стадии арифметики придётся уделить больше внимания. Конечно, лучше использовать игровую форму – то, что у дошкольника игровая деятельность доминирует над остальными, - доказанный научно факт, и оспаривать здесь мы его не собираемся. Итак, полезным приёмом станет, например, счёт на пуговицах: показываем ребенку 8 пуговиц, а затем, отвернувшись, просим ребенка часть пуговиц спрятать в карман. Ученику нужно ответить, как Вы догадались, сколько пуговиц он спрятал.
-на первых этапах важна наглядность, (счётные палочки, зубочистки, карандаши и т.д.)
- считаем двойками, тройками, четверками и т.д.
-решаем уравнения подбором (равенства с пропущенными окошечками), постепенно подходим к взаимосвязи действий, к обратности действий.
-составляем по заданию определенные числа из других («найди три числа, образующие 10, найди 2 числа, образующие 8») и т.д.
-играем в «магазин», совершаем покупки, выдаем сдачу разными купюрами
Помимо таблицы сложения и понимания обратности действий на самых ранних этапах следует дать ребенку представление о свойствах арифметических действий – как удобнее считать, то есть, коммутативности сложения, ассоциативности. Здесь нужно быть готовым к неожиданному: некоторые свойства, кажущиеся очевидными взрослому, совсем не очевидны ребёнку и требуют определённой психологической готовности. Например, как рассуждает ребенок, отвечая на вопрос «что нужно прибавить к пяти, чтобы получилось 8?» Здесь всё без проблем: отталкиваясь от числа 5 ищет, с чем нужно сложить, чтобы вышло 8. Но попробуйте поменять местами слагаемые: «к чему прибавить пять, чтобы получилось 8?» И уже маленький ученик в полной растерянности: к чему мы прибавляем? Неизвестно, от чего отталкиваться! (Пример из замечательной книги «Тени математики»)К подобным тупикам нужно быть готовым, хотя никогда точно не будешь знать, откуда можно прийти угроза.
ЛОГИКА
Задачами на логику часто называют всё, что угодно: задания олимпиадной тематики, задания на сообразительность, вопросы с подвохом, или просто текстовые задачи различной сложности. На самом деле логические операции это вполне определенные действия (определение, классификация, доказательство). В математике они играют главную роль. Рассмотрим классические типы заданий на логику.
Сравнение выражений
На первый взгляд, это просто работа с результатами арифметических действий, однако, если копнуть ближе, станет понятно, что это логическая операция. Итак, предложите сравнить детям результаты действий 6+6+6 и 5+5+5 не производя вычислений. Рассуждение в данном случае – установление биективного соответствия между соответствующими слагаемыми.
Задачи Пиаже
Это самая настоящая логика – те самые задания, которыми мучил французских малышей товарищ Жан. Стоит отметить, что злоупотреблять ими не стоит, как раз по той причине, что дети могут оказаться не готовы рассуждать корректно. Однако, можно заменить недостижимую пока цель «мыслить логически ясно и корректно» на «пытаться мыслить и находить противоречия».Так какие же задачи давал своим испытуемым психолог Пиаже?
-спрашивал, сколько у ребенка братьев, а потом спрашивал, сколько братьев у его старшего брата. Ребёнок, маленький эгоцентрик, разумеется, забывал рассматривать себя со стороны, тоже в качестве брата.
-строил два параллельных ряда из кубиков, в одном промежутки между кубиками меньше, чем в другом; а потом спрашивал, в каком ряду кубиков больше. Испытуемые отвечали, что в более длинном ряду кубиков стало больше.
-наливал одинаковое количество воды в два одинаковых кувшинах, затем переливал воду из одного кувшина в кувшин с более широким дном и спрашивал, в каком из двух кувшинов больше воды теперь?
И так далее. Примечательно, что учёный делал свои наблюдения с группами детей разных возрастов. И оказывалось, что ошибки, совершаемые детьми пяти- и шестилетнего возраста практически изживали себя к семи годам. И это позволяло учёному делать выводы о логическом развитии человека как естественном процессе – мол, само всё придёт в своё время. Больше импонирует точка зрения другого учёного, А.К. Звонкина (математик тоже использовал задачи Пиаже в ходе своих занятий с дошкольниками), который не просто наблюдал за детьми в их естественном процессе развития, а стимулировал это развитие под своим чутким математическим руководством.
Транзитивность
Популярная серия задач, основанных на важном свойстве некоторых бинарных отношений с числами: если выполнено a<b и b<c, то a<c. Таких заданий можно придумать много: если Вася умнее Пети, а Боря умнее Васи, то кто здесь самый умный? Попробуйте придумать пример посложнее, которые не будут укладываться в подобную схему.
Признаки
Тоже типично логические задачи. Ребёнок учится классифицировать предметы по их признакам – форме, цвету, размеру.
Задание: сколькими признаками отличаются друг от друга соседние фигуры?
Здесь важно умение абстрагироваться и менять основания классификации.
Квадрат – это прямоугольник?
Отнесение к понятию и обобщение – сложные логические операции, требующие умения мыслить в понятиях. Например, требуется ответить на вопрос: является ли квадрат прямоугольником. Вернее, ученикам демонстрируется некий незамысловатый рисунок, наподобие такого: 
А затем ставится вопрос: а сколько на рисунке прямоугольников? Логических трудностей здесь две. Во-первых, дети попадаются, считая, что их спрашивают о неком разбиении, и отвечают, предварительно мысленно разрезав фигуру на части. Итак, первый предварительный ответ 5. (Посчитаны отдельные прямоугольники с неравными сторонами). Теперь самое время обсудить, почему мы не учли квадраты. Стандартный ответ – квадрат – это не прямоугольник. Чтобы разобраться в сути вопроса, необходимо разобраться с определением понятия квадрата и прямоугольника, после чего мы должны придти к правильному заключению: множество прямоугольников включает в себя множество квадратов, поэтому любой квадрат – автоматически является прямоугольником. Подводить под понятие, корректно обращаться с определением – вещи высокого логического уровня, поэтому дошкольникам и младшешкольникам не всегда легки. Наверное, что-то подобное сказал бы учёный Пиаже. Далее, ученикам следует, конечно, пояснить включение одного класса в другой на аналогиях и задать «бытовые» вопросы: является ли яблоко фруктом и наоборот, кого больше, зверей или волков и так далее.
Да, второе же очевидное затруднение с картинкой выше, как вы уже догадались, состоит в том, что ставя вопрос «сколько прямоугольников?» мы не вводим никакого разбиения, то есть, требуется указать любые подходящие прямоугольники, сначала «отдельные», потом состоящие из «отдельных» и так далее.
Теория множеств
Этот раздел математики может быть одновременно и тривиален и сложен, поэтому изучается на любых ступенях обучения математики: от дошкольников до студентов университетов. По глубине и смыслу теоретико-множественный подход – мощный результат современной математики, позволивший ей перейти на новый философский уровень – формальной логики. А проиллюстрировать этот подход вполне легко наглядно, что и хочется сделать.
Итак, осветим смысл операций над множествами. Именно это успешно осуществил А.К. Звонкин: показывал детям разные наборы карточек и задавал вопросы: какие карточки находятся в обоих наборах? Какие карточки не находятся в обоих наборах? Какие карточки только в первом наборе, а во втором их нет? И так далее. Кругов Эйлера при этом учёный не рисовал, не произносил лишних слов типа «разность множеств» или «симметрическая разность», «объединение» и «пересечение». А дети тем временем легко и правильно отвечали на поставленные вопросы.
И о кругах Эйлера: кстати, некоторые всё же предлагают первоклассникам задачи на эту тему, действительно рисуются пересекающиеся круги в качестве обозначения множеств. Последовательности
Эти задания помогают установить аналогию. Итак, есть некоторая последовательность, состоящая из чисел, слов, и т.д. Необходимо её «разгадать» и продолжить. Разгадать – означает понять принцип, по которому получается следующий член последовательности из предыдущего. Принцип, по которому мы поймём, что разгадали верно – красота. То есть, если решение кажется красивым и очень хорошо подходит, то, наверняка разгадано правильно.
Это задание относится к логическим, так как важно выделить одно свойство (правило перехода), верное для всех членов последовательности, абстрагировавшись от остальных. А затем аккуратно проверить свою гипотезу для всех данных нам членов.
ГЕОМЕТРИЯ
Геометрия для дошкольников – огромный простор для творчества и развития. Сколько всего можно придумать помимо стандартных знаний о геометрических фигурах и умении их находить и воспроизводить (насчёт находить – уже вопрос небанальный, ведь мы договорились дошкольникам строгие определения не сообщать, однако в разделе «логика» уже вступили с этим решением в конфликт).
Например, в развитие пространственных представлений стандартно включают понятия «лево» и «право», причём применение этих понятий к картинкам, где объект изображён лицом к читателю вызывают затруднения не только у детей (проверено на практике).
Чтение схем и карт, топологические представления
Это стандартное задание из современных пособий для дошкольников: нужно, пользуясь схемой, сопоставить ее «реальной местности». Так формируются топологические представления: важно увидеть, что это разные изображения одного и того же, и понять, как устроено соответствие между ними. Сюда же относится мысленное распрямление «свёрнутого» чертежа: развернутый и свёрнутый топологически одинаковы.
Развертка пространственных фигур
Это не самый простой раздел заданий: нарисовать развёртку нелегко бывает и взрослому искушенному человеку. Однако и здесь нас ждёт удивление: дети легко схватывают идею и быстро запоминают принцип, по которому эта развёртка получается. А ещё у современных детей есть магнитные конструкторы, с помощью которых из своей развёртки в одно мгновение собирается настоящий куб. Задания на развёртку можно разнообразить и усложнять:
Попробуйте зарисовать развёртку кубика, на котором нарисованы буквы. Разобрались, где какая находится буква? Замечательно! А теперь проверьте: правильно ли ориентированы буквы на вашей развертке.
Вид сверху, снизу, сзади
Стандартные задания на изображение «тени» от пространственной фигурки. Да, это проходят на черчении в седьмом классе. А дошкольники справляются не хуже!
Вообще, геометрия для дошкольников – наверное, не только самый массивный раздел, но и самый благодарный. Поразительно наблюдать, как лихо ребёнок, категорически не справляющийся с логикой или вербальными заданиями, поворачивает в уме трёхмерные фигуры. Дети развиваются неравномерно, и это тоже примечательный факт.
Подобие
Эти задачи, как и задачи следующего типа, А.К. Звонкин предлагал решать с помощью набора мозаики. Хитрого здесь ничего не будет, нужно просто построить фигуру, подобную данной.
Симметрия
Аналогично с предыдущими задачами, с помощью мозаики можно выкладывать фигурки, симметричный данной зеркально или центрально. В случае зеркальной симметрии можно усложнять задание тем, что ось симметрии расположить не вертикально и не горизонтально. Или отражаемую фигуру сделать хитрее: чтобы её точки не располагались на оси симметрии.
Поворот
Поворачиваем буквы или фигуры на некоторый угол.
Объёмные тела
Показываем детям и называем цилиндр, призму, куб, параллелепипед. Лепим их из пластилина, узнаём похожие формы среди окружающих нас предметов. Режем пластилиновые формы, рассматриваем различные сечения.
Можно предлагать детям угадывать, что за фигура перед ними наощупь с закрытыми глазами.