и их геометрическое решение

Уравнения и неравенства с двумя переменными

 

 

 

 

 

1. Уравнения с двумя переменными и их геометрическое решение.

 

Уравнение вида f(x;y)=0 называется уравнением с двумя переменными.

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел (α, β), при подстановке которой (α – вместо х, β – вместо у) в уравнении имеет смысл выражение f( α; β)=0

Например, для уравнения ((х +1) )²+ у² =0 упорядоченная пара чисел (0;0) есть его решение, так как выражение ((0+1) )²+0² имеет смысл и равно нулю, но упорядоченная пара чисел (-1;0) не является решением, так как не определен и поэтому выражение ((-1+1) )²+0² не имеет смысла.

Решить уравнение – значит найти множество всех его решений.

Уравнения с двумя переменными может:

а) иметь одно решение. Например, уравнение х²+у²=0 имеет одно решение (0;0);

б) иметь несколько решений. Например, данное уравнение (‌‌│ х │- 1)²+(│ у │- 2)² имеет четыре решения: (1;2),(-1;2),(1;-2),(-1;-2);

в) не иметь решений. Например уравнение х²+у²+ 1=0 не имеет решений;

г) иметь бесконечно много решений. Например, такое уравнение, как х-у+1=0 имеет бесконечно много решений

 

Иногда бывает полезной геометрическая интерпретация уравнения f(x;y)=g(x;y). На координатной плоскости хОу множество всех решений – некоторое множество точек. В ряде случаев это множество точек есть некоторая линия, и в этом случае говорят, что уравнение f(x;y)=g(x;y) есть уравнение этой линии, например:

1) уравнение Ах+Ву+С=0 (А²+В² 0) есть уравнение прямой (рис.1);

2) уравнение х²+у²=R² (R 0) есть уравнение окружности (рис.2);

3) уравнение ху=а (а 0) есть уравнение гиперболы (рис.3,4);

4) уравнение у=ах²+bх+с (а 0) есть уравнение параболы (рис.5);

5)

уравнение х²+у²=0 задает одну точку (0;0) (рис.6)

 

рис.1 рис.2 рис.3

 

 

 

рис.4 рис.5 рис.6

 

 

2.1 Системы уравнений

Пусть заданы два уравнения с неизвестными х и у

F₁(x; y)=0 и F₂ (x; y)=0

Будем считать, что первое из этих уравнений задаёт на плоскости переменных х и у линию Г₁, а второе - линию Г₂. Чтобы найти точки пересечения этих линий, надо найти все пары чисел (α, β), такие, что при замене в данных уравнениях неизвестной х на число α и неизвестной у на число β, получаются верные числовые равенства. Если поставлена задача об отыскании всех таких пар чисел, то говорят, что требуется решить систему уравнений и записывают эту систему с помощью фигурной скобки в следующем виде

Решением системы называется такая пара чисел (α, β), которая является решением как первого, так и второго уравнений данной системы.

Решить систему – значить найти множество всех ее решений, или доказать, что решений нет.

В ряде случаев геометрическая интерпретация каждого уравнения системы, ибо решения системы соответствуют точкам пересечения линий, задаваемых каждым уравнением системы. Часто геометрическая интерпретация позволяет лишь догадаться о числе решений.

Например, выясним, сколько решений имеет система уравнений

Первое из уравнений системы задает окружность радиусом R= c центром (0;0), а второе – параболу, вершина которой находится в той же точке. Теперь ясно, что имеются две точки пересечения этих линий. Следовательно, система имеет два решения – это (1;1) и (-1;1)

 

 

 

2.2.Примеры решения уравнений с двумя переменными

 

Изобразите все точки с координатами (х;у), для которых выполняется равенство.

1. (х-1)(2у-3)=0

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений

 

Каждое из полученных уравнений определяет на координатной плоскости прямую.

 

2. (х-у)(х²-4)=0

Решением данного уравнения является множество точек плоскости, координаты, которых удовлетворяют совокупности уравнений

На координатной плоскости решение будет выглядеть так

 

 

 

3. =х²

Решение: Воспользуемся определением абсолютной величины и заменим данное уравнение равносильной совокупностью двух систем

у=х²+2х у = -х²+2х

х²+2х=0 х_в=1 у_в=1

х(х+2)=0

х_в=-1 у_в=1-2=-1

 

2.3.Примеры решения систем.

 

Решить систему графическим способом:

1)

В каждом уравнении выразим переменную у через х и построим графики соответствующих функций:

у = +1

а) построим график функции у=

 

 

График функции у = +1 получается из графика у = путем сдвига на две единицы вправо и на одну единицу вверх:

у = - 0,5х+2 - это линейная функция, графиком которой является прямая

 

 

Решением данной системы являются координаты точки пересечения графиков функций.

Ответ (2;1)

 

 

3.Неравенства и их геометрическое решение.

Неравенство с двумя неизвестными можно представить так: f(x;y) >0, где Z = f(x;y) – функция двух аргументов х и у. Если мы рассмотрим уравнение f(x;y) = 0, то можно построить его геометрическое изображение, т.е. множество точек М(х;у), координаты которых удовлетворяют этому уравнению. В каждой из областей функция f сохраняет знак, остается выбрать те из них, в которых f(x;у) >0.

Рассмотрим линейное неравенство ax+by+c >0. Если один из коэффициентов a или bотличен от нуля,то уравнение ax+by+c=0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них будет сохраняться знак функции z = ax+by+c. Для определения знака можно взять любую точку полуплоскости и вычислить значение функции z в этой точке.

Например:

 

3 х – 2у +6 >0.

f(x;у) = 3х- 2у +6,

f(-3;0) = -3 <0,

f(0;0) = 6>0.

 

Решением неравенства является множество точек правой полуплоскости (закрашенной на рисунке 1)

Рис. 1

Неравенству │y│+0,5 ≤ удовлетворяет множество точек плоскости (х;у), заштрихованной на рисунке 2. Для построения данной области воспользуемся определением абсолютной величины и способами построения графика функции с помощью параллельного переноса графика функции по оси ОХ или ОУ

	1) I четверть: х>0, у>0 2) II четверть: х <0, у>0 3) III четверть: х<0, у <0 4) IV четверть: х>0, у <0

 

 

Рис.2

f(x;y) =

f (0;0) = -1,5<0

f(2;2)= 2,1>0

 

 

3.1. Примеры решения неравенств с двумя переменными.

 

Изобразите множество решений неравенства

а)

= у=х2-2х у=|х2-2х| |у|=|х2-2х|   - 0 f(x;y)= f (1;0)=-1<0 f(3;0) = -3<0 f(1;2) =1>0 f(-2;-2) = -6<0 f(1;-2)=1>0

Решением неравенства является закрашенная область на рисунке 3. Для построения данной области применялись способы построения графика с модулем

 

 

Рис. 3

 

	1) 2) <0 f(2;0)=3>0 f(0;2)=-1<0 f(-2;0)=1>0 f(0;-2)=3>0

б)

	Для решения данного неравенства воспользуемся определением абсолютной величины

 

3.2. Примеры решения систем неравенств.

 

Изобразите множество решений системы неравенств на координатной плоскости

а)

 

 

б)

4. Графический метод решения задач с параметрами

Задачами с параметрами называют задачи, в которых участвуют фактически функции нескольких переменных, из которых одна переменная х выбрана в качестве независимой переменной, а оставшиеся играют роль параметров. При решении таких задач особенно эффективны графические методы. Приведем примеры

 

1. Определите, при каком значении а уравнение имеет ровно три различных действительных корня. Решение: построим график функции у= . Уравнение у=а определяет семейство прямых, параллельных оси абсцисс.

 

По рисунку видно, что прямая у=4 пересекает график функции у= в трех точках. Значит, исходное уравнение имеет три решения при а= 4.

1. Найти все значения параметра а, при которых уравнение х²-6|х|+5=а имеет ровно три различных корня.

Решение: Построим график функции у=х²-6х+5 для х ≥0 и отражаем его зеркально относительно оси ординат. Семейство прямых, параллельных оси абсцисс у=а, пересекает график в трех точках при а =5

 

3. Найти все значения а, при которых неравенство имеет хотя бы одно положительное решение.

 

 

1. При каких значения параметра а, система имеет четыре решения

Уравнение вида |х|+|у|= а на координатной плоскости задает семейство квадратов. Уравнение х2+у2=4 на координатной плоскости задает окружность с центром в начале координат и радиусом равным 2. Построив графики данных уравнений, видим, что четыре решения система имеет при а =2

Ответ: а =2