Расчетно-графическая работа № 2. Анализ линейной электрической цепи

Расчетно-графическая работа № 2

 

Анализ линейной электрической цепи

Однофазного синусоидального тока

 

Номер варианта выбирается согласно порядковому номеру студента в журнале группы. Дана схема электрической цепи однофазного синусоидального тока (рис. 2.1), содержащая источники синусоидальных ЭДС, резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы.

Мгновенные значения ЭДС источников:

e_a(t)= Е_{a m} sin (314t+Ψ_a),

e_b(t)= Е_{b m} sin (314t+Ψ_b);

e_c(t)= Е_{c m} sin (314t+Ψ_c),

где амплитудные значения и начальные фазы ЭДС источников:

для нечетных вариантов:	для четных вариантов:
Еa m =141 В;	Ψa = -45°;	Еа m =84,9 В;	Ψa = 90°;
Еb m = 70,7 В;	Ψb = 60°;	Еb m = 141 В;	Ψb = -60°;
Еc m =282 В;	Ψc = 45°.	Ec m =70.7 В;	Ψc = 30°.

Параметры элементов цепи заданы согласно варианту в табл. 2.1. Если в графе табл. 2.1 стоит прочерк, то такой элемент в цепи отсутствует.

Таблица 2.1

№ вар.	е1, В	е2, В	е3, В	R1, Ом	L1, Гн	C1, мкФ	R2, Ом	L2, Гн	C2, мкФ	R3, Ом	L3, Гн	C3, мкФ
Исходные данные для первой группы (ЭП)
	еа	-	еb		0,5			0,3	-	-	0,6
	-	еb	ec		-			0,6			0,5	-
	еа	еb	-		0,3	-	-	0,5			0,6
	ec	еа	-	-	0,4			-			0,5
	-	ec	еb		0,5	-		0,5		-	0,2
	-	еа	еb		0,2			0,5	-		-
	еb	-	ec		0,3			-			0,6	-
	-	ec	еа		0,25		-	0,8			-
	еа	ec	-	-	0,3			0,5	-		0,6
	-	еb	еа		-			0,2		-	0,5
	еb	еа	-	-	0,5			0,2			-
	ec	еb	-		0,2	-		0,3			-
	-	ec	еа		-		-	0,6			0,5
	ec	еа	-		0,5		-	0,4			0,2	-
	-	еb	ec		0,3	-		0,5			0,4	-
	ec	-	еb		-			0,6	-		0,5
	еа	-	ec		0,5	-		-			0,5
	еb	ec	-		-	-		-			0,8
	-	ec	еb		0,8	-		-	-		0,5
	еа	-	ec		0,5	-		0,2			-	-
	еа	ec	-	-	-			0,5	-		0,2
	еb	ec	-		0,4	-	-	-			0,5
	-	еа	ec		0,3		-	0,8		-	-
	ec	-	еа	-	0,8			-			0,5
	-	еа	ec		0,5		-	0,1			-

Продолжение табл. 2.1

№ вар.	е1, В	е2, В	е3, В	R1, Ом	L1, Гн	C1, мкФ	R2, Ом	L2, Гн	C2, мкФ	R3, Ом	L3, Гн	C3, мкФ
Исходные данные для второй группы (ЭМ)
	еа	еb	-		0,5	-		0,2	-		0,2
	еb	ec	-		0.2	-	-	0.5	-		0.5
	-	еа	еb		-			0.1			0.6	-
	еb	-	еа		0.6	-		0.8		-	0.3
	еа	еb	-	-	0.25			0.4	-		0.25
	еа	ec	-		0,5			0,3	-	-	0,6
	еb	ec	-		-			0,6			0,5	-
	-	еа	ec		0,3	-	-	0,5			0,6
	ec	-	еа	-	0,4			-			0,5
	-	еа	ec		0,5	-		0,5		-	0,2
	ec	-	еb		0,2			0,5	-		-
	еа	-	ec		0,3			-			0,6	-
	еb	ec	-		0,25		-	0,8			-
	-	ec	еb	-	0,3			0,5	-		0,6
	еа	-	ec		-			0,2		-	0,5
	-	еа	еb	-	0,5			0,2			-
	еb	-	ec		0,2	-		0,3			-
	-	ec	еа		-		-	0,6			0,5
	еа	ec	-		0,5		-	0,4			0,2	-
	-	еb	еа		0,3	-		0,5			0,4	-
	еb	еа	-		-			0,6	-		0,5
	ec	еb	-		0,5	-		-			0,5
	-	ec	еа		-	-		-			0,8
	ec	еа	-		0,8	-		-	-		0,5
	-	еb	ec		0,5	-		0,2			-	-

Продолжение табл. 2.1

№ вар.	е1, В	е2, В	е3, В	R1, Ом	L1, Гн	C1, мкФ	R2, Ом	L2, Гн	C2, мкФ	R3, Ом	L3, Гн	C3, мкФ
Исходные данные для третьей группы (ЭС)
	еb	еа	-		0,5	-		0,2	-		0,2
	ec	еb	-		0.2	-	-	0.5	-		0.5
	-	ec	еа		-			0.1			0.6	-
	ec	еа	-		0.6	-		0.8		-	0.3
	-	еb	ec	-	0.25			0.4	-		0.25
	ec	-	еb		0,5			0,3	-	-	0,6
	еа	-	ec		-			0,6			0,5	-
	еb	ec	-		0,3	-	-	0,5			0,6
	-	ec	еb	-	0,4			-			0,5
	еа	-	ec		0,5	-		0,5		-	0,2
	еа	ec	-		0,2			0,5	-		-
	еb	ec	-		0,3			-			0,6	-
	-	еа	ec		0,25		-	0,8			-
	ec	-	еа	-	0,3			0,5	-		0,6
	-	еа	ec		-			0,2		-	0,5
	-	еа	еb		-			0,6	-		0,5
	еb	-	ec		0,5	-		-			0,5
	-	ec	еа		-	-		-			0,8
	еа	ec	-		0,8	-		-	-		0,5
	-	еb	еа		0,5	-		0,2			-	-
	еb	еа	-	-	-			0,5	-		0,2
	ec	еb	-		0,4	-	-	-			0,5
	-	ec	еа		0,3		-	0,8		-	-
	ec	еа	-	-	0,8			-			0,5
	-	еb	ec		0,5		-	0,1			-

Задание

1. Составить согласно варианту расчетную схему электрической цепи и провести ее топологический анализ.

2. На основании законов Кирхгофа записать систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы в двух формах: а) дифференциальной; б) символической.

3. Рассчитать комплексные действующие значения токов во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов.

4. Рассчитать потенциалы всех точек схемы, приняв потенциал узла «а» равным нулю. Построить топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов. Графически показать на векторной диаграмме выполнение законов Кирхгофа для исследуемой цепи.

5. По топографической диаграмме определить напряжение между точками «d» и «m».

6. Записать мгновенные значения тока в ветви, не содержащей источник ЭДС, и напряжения на зажимах этой ветви. Построить в одних осях координат их временные диаграммы. На диаграмме показать угол сдвига фаз между напряжением и током в этой ветви.

7. Рассчитать комплексные мощности приемников и источников электрической энергии. Проверить выполнение баланса комплексных мощностей.

Методические указания к выполнению работы

1. Топологический анализ схемы электрической цепи.

Решение. Рассматриваемая электрическая цепь, схема которой приведена на рис. 2.2, имеет два узла (они пронумерованы синим цветом) и три ветви с неизвестными токами.

Так как схема содержит несколько источников электрической энергии, положительные направления токов в ветвях выбираем произвольно, как показано красными стрелками на схеме рис. 2.2. Также произвольно выбираем направления обхода двух независимых контуров, они указаны синим и зеленым цветом на рис. 2.2.

2. Анализ схемы электрической цепи методом законов Кирхгофа. Число уравнений, составляемых по законам Кирхгофа, должно соответствовать количеству неизвестных токов. По первому закону Кирхгофа составляется на одно уравнение меньше, чем количество узлов в схеме. Остальные уравнения записываются по второму закону Кирхгофа.

Запись системы уравнений в дифференциальной форме выполняется для мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений. Необходимо помнить, что зависимости между мгновенными значениями напряжений и токов реактивных элементов дифференциально-интегральные.

Для записи системы уравнений в символической форме переходят от синусоидальных функций времени к их изображению комплексными числами. Соответственно дифференциальные и интегральные зависимости между напряжениями и токами в цепях синусоидального тока, заменяются линейными зависимостями между комплексными действующими токами и напряжениями, которые приведены в виде табл. 2.2.

Решение. Система уравнений, составляемая по законам Кирхгофа для рассматриваемой схемы электрической цепи (рис. 2.2) должна состоять из трех уравнений. По первому закону Кирхгофа составляем одно уравнение. Недостающие два уравнения составляем по второму закону Кирхгофа для контуров, направление обхода контуров показано на рис. 2.2.

Таблица 2.2

→

→

→

→

→

Записываем систему уравнений в дифференциальной форме:

Система уравнений, записанная по законам Кирхгофа, в символической форме имеет вид:

3. Расчет действующих комплексных значений токов в ветвях схемы электрической цепи. Схема рассматриваемой цепи представлена на рис. 2.3. ЭДС источников энергии:

В; В.

Параметры элементов схемы: R₁ =80 Ом, R₃= 60 Ом,

L₂ =40 мГн, L₃ =30 мГн, C₁ =10 мкФ.

 

Решение. Расчет цепи будем выполнять в комплексной форме, для чего перейдем от мгновенных значений ЭДС к их

комплексным действующим значениям:

Рассчитываем комплексные сопротивления ветвей:

Ом,

Ом,

Ом.

Числовые значения углов округляем до целого числа.

Так как схема имеет всего два узла, то для расчета токов применим частный случай метода узловых потенциалов – метод двух узлов.

Примем потенциал второго узла φ₂=0. Согласно методу двух узлов напряжение меду узлами 1 и 2 определяем как:

где комплексные проводимости параллельных ветвей:

Подставляем значения комплексных ЭДС и проводимостей в формулу для определения напряжения:

Пользуясь законом Ома рассчитываем токи в ветвях схемы, произвольно выбранные положительные направления которых показаны на рис. 2.3:

4. Построение топографической диаграммы, совмещенную с векторной диаграммой токов.

Решение. Для построения топографической диаграммы рассчитываем потенциалы всех точек схемы (рис. 2.3), приняв потенциал второго узла φ₂=0:

Как видно из расчетов, значение потенциала первого узла с допустимой погрешностью получилось такое же, как и в методе двух узлов.

На комплексной плоскости строим топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов (рис. 2.4).

Вектора напряжений на диаграмме показываем как разность соответствующих векторов комплексных потенциалов. Напряжения элементов на диаграмме откладываем в порядке следования этих элементов на схеме (рис.2.3).

Показываем на диаграмме выполнение законов Кирхгофа:

5. Определение напряжения между точками схемы по топографической диаграмме.

Решение. На примере схемы цепи рис. 2.3 получаем напряжение между точками 1 и 6 как разность потенциалов . Так как вектора комплексных потенциалов не изображают на плоскости, а показывают только точки, соответствующие концам этих векторов, вектор напряжения U₃₆ получаем с помощью правила вычитания векторов путем соединения точек 1 и 6 на плоскости. Стрелку вектора направляем U₁₆ в точку с большим потенциалом, т.е. в точку 1 (рис. 2.4).

6. Запись мгновенных значений тока ветви без ЭДС и напряжения на ее зажимах. Построение временных зависимости этих функций в одних осях координат.

Запись мгновенных значений электрических величин может быть получена из их комплексной формы записи. При построении временных диаграмм необходимо помнить, что если синусоида имеет ненулевую начальную фазу, то она смешается относительно начала координат: влево– если начальная фаза больше нуля ψ>0; вправо –если начальная фаза меньше нуля ψ<0.

Решение. Для схемы цепи, представленной на рис. 2.3, были получены в комплексной форме значения тока и напряжения:

Записываем мгновенные значения тока и напряжения:

Временные диаграммы заданных синусоидальных функций построены на рис. 2.5.

Рис. 2.5

7. Расчет комплексных мощностей приемников и источника цепи. Проверка баланса комплексных мощностей.

Решение. Для схемы цепи рис. 2.3 определяем комплексную мощность приемников :

Рассчитываем комплексную мощность источников рассматриваемой схемы цепи (рис. 2.3):

, .

В схеме (рис. 2.3) баланс мощностей выполняется.