Абсолютные и средние показатели вариации

Понятие вариации

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака. Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.

Средняя величина не дает представления о том, как отдельные значения признака близко примыкают к средней арифметической и мало от нее отличаются. В таких случаях средняя хорошо представляет всю совокупность. В других наоборот, отдельные значения совокупности далеко отстают от средней. Здесь средняя величина менее надежна. Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации.

Термин «вариация» произошел от латинского «variatio» - изменение, колеблемость, различие.

Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Анализ вариации позволяет оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих ее факторов. Например, изучая силу и характер вариации выделенной совокупности, можно оценить, насколько однородной является данная совокупность в количественном, а иногда и качественном отношении, а следовательно, насколько характерной является исчисленная средняя величина. Степень близости отдельных единиц x_i к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей вариации.

Показатели вариации

Абсолютные и средние показатели вариации

Наиболее простым, но и менее надежным из показателей вариации является размах вариации R. Он определяется как разность между наибольшим и наименьшим значениями вариантов:

R=x_max-x_min

Пример 1. Распределение предприятий по объему товарооборота.

Группы предприятий по объему товарооборота (млн.руб.)	Среднее значение интервала xi	Число предприятий fi
Р Е Г И О Н 1
90-100
100-110
110-120
120-130
ИТОГО	-			-
Р Е Г И О Н 2
60-80
80-100
100-120
120-140
140-160
160-180
ИТОГО	-			-

Определим сначала средний объем товарооборота по регионам:

Регион 1: млн. руб.

Регион 2: млн. руб.

Однако, показатель размаха вариации составил:

Регион 1: млн. руб.

Регион 2: млн. руб.

Сравнивание показателей показывает, что размах вариации объема товарооборота выше в регионе 2. Но этот показатель улавливает только крайние отклонения и не отражает отклонений всех вариант в ряду. Однако легкость вычислений и простота истолкования обусловили широкое применение этого показателя.

Более точным является показатель средний модуль отклонения (среднее линейное отклонение), который учитывает различия всех единиц изучаемой совокупности. Средний модуль отклонений определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака этих отклонений:

Для нашего примера:

млн. руб.

млн. руб.

Таким образом, в регионе 1 показатели объема товарооборота более однородны, чем в регионе 2.

Среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистике редко. Во многих случаях этот показатель не устанавливает степень рассеивания.

На практике меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии (сигма-квадрат).

Дисперсия рассчитывается как квадрат отклонений от средней арифметической:

Корень квадратный из дисперсии представляет собой среднее квадратическое отклонение (сигма).

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются общепринятыми мерами вариации признака.

Для нашего примера:

По региону 1: млн. руб.

По региону 2: млн. руб.

Среднее квадратическое отклонение как бы измеряет надежность средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение (s), тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность. Как видим, в регионе 1 дисперсия и среднее квадратическое отклонение меньше, чем в регионе 2, что также подтверждает большую надежность средней в регионе 1.