Работу выполнили: Ученики 10 класса.
Руководитель: Давыдова Е.В.
2018-2019уч. Год
Содержание
1.Определение понятия «Квадратное уравнение»…………………3
2.История Квадратных уравнений…………………………………..4
3.Неполные квадратные уравнения…………………………………5
4.Способы решений квадратных уравнений
4.1.Разложение левой части уравнения на множители………….
4.2.Метод выделения полного квадрата………………………….
4.3.Решение квадратных уравнений по формуле………………..
4.4.Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.
4.5.Решение уравнений с помощью переброски…………………
4.6.Свойства коэффициентов квадратного уравнения…….…….
5.Дидактические материалы………………………………………..
6.Заключение…………………………………………………………
7. Литература………………………………………………………..
Определение понятия «Квадратное уравнение».
Квадратное уравнение — уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ≠ 0), x — неизвестное.
Числа a.b.c называются коэффициентами квадратного уравнения.
a- называется первым коэффициентом;
b- Называется вторым коэффициентом;
c- Свободным членом
Приведенное квадратное уравнение — уравнение вида 
, первый коэффициент которого равен единице (
).
Если в квадратном уравнении коэффициенты 
и 
не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение 
. Если один из коэффициентов или равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным.
Например, 
.
Значение неизвестного 
, при котором квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем этого уравнения. Например, значение 
является корнем квадратного уравнения 
, потому что 
или 
— это верное числовое равенство.
Решить квадратное уравнение — это значит найти множество его корней.
Материал предоставил: Иванова П.
История Квадратных уравнений.
Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.
Древнеиндийский математик Баудхаяма в VIII столетии до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме
ax2 = c и ax2 + bx = c
и привел методы их решения.
Вавилонские математики примерно с IV века до н.э. и китайские математики примерно со II века до н.э. использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. Эвклид придумал более общий геометрический метод решения.
Первым математиком, который нашел решения уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был Брахмагупта (Индия, VII столетие нашей эры).
Материал предоставил: Яковлева Ю.
СПОСОБЫРЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Разложение левой части уравнения на множители.
1. Решим уравнение х2 + 10х – 24 = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители:
х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х – 2) = 0.
Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х2 + 10х – 24 = 0.
Материал предоставил: Никулина Д.
СПОСОБЫРЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Метод выделения полного квадрата.
Выделение полного квадрата - это такое тождественное преобразование,
при котором заданный трехчлен представляется в виде (a±b)2
суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения.
Пример:
Решить уравнение x 2+ 14x + 45 = 0
Решение:
Разложим многочлен на множители методом выделения полного квадрата.
Для применения первой формулы необходимо получить выражениеx2+ 14x + 49 = 0.
Поэтому прибавим и отнимем от многочлена x2+ 14x + 45 число 4, чтобы выделить полный квадрат
x 2+ 14x + 45+4−4 =0
(x 2+ 14x + 45+4)−4=0
(x 2+ 14x + 49)−4=0(x+7)2−4=0
Применим формулу «разность квадратов» a2−b2=(a−b)⋅(a+b)
(x+7)2−22=0
(x + 7 – 2) (x + 7 + 2) = 0
(x + 5) (x + 9) = 0
x + 5 = 0 x + 9 = 0
x1 = – 5 x2 = – 9
Ответ: –9;–5.
Материал предоставил: Сергеева М.
СПОСОБЫРЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Решение квадратных уравнений по формуле.
В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.
Дискриминант
Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4 ac.
Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:
1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.
Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:
1. x 2 − 8 x + 12 = 0;
2. 5 x 2 + 3 x + 7 = 0;
3. x 2 − 6 x + 9 = 0.
Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.
Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
Дискриминант равен нулю — корень будет один.
Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.
Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.