Методы решения задач линейного программирования

Тема 6. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫРЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПЭВМ.

Задачи линейного программирования.

Линейное программирование — область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными.

Программирование в управлении можно представить как процесс распределения ресурсов. Существует ряд различных методов, основанных на идеях математического программирования, однако, наиболее широкое применение нашел метод линейного программирования.

Применение методов линейного программирования актуально в сегодняшнее время, так как использование математических моделей является важным направлением совершенствования планирования и анализа деятельности компании. Представление данных в виде математической модели позволяет конкретизировать информацию, создавать и моделировать варианты, выбирать оптимальные решения.

Постановка задачи

Постановка практической задачи ЛП включает следующие основные этапы:

· определение показателя эффективности, переменных задачи,

· задание линейной целевой функции S(x), подлежащей минимизации или максимизации,

· задание ограничений.

Приведем сейчас общую математическую формулировку основной задачи линейного программирования.

Дана система линейных уравнений с n неизвестными:

a₁₁ x₁ + a₁₁ x₂ + …… + a₁₁ x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + …… + a_2n x_n = b₂,

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + …… + a_mn x_n = b_m,

и линейная функция

f = c₁ x₁ + c₂ x₂ +………+ c_n x_n (1.2)

Требуется найти такое неотрицательное решение системы

x₁ ≥0, x₂ ≥0, … …, x_n ≥0 (1.3)

при котором функция f принимает наименьшее значение.

Уравнения (1.1) называют системой ограничений данной задачи; функцию f — целевой функцией (или линейной формой).

Методы решения задач линейного программирования

6.2.1. Симплекс – метод

Симплекс метод - метод линейного программирования, который реализует рациональный перебор базисных допустимых решений, в виде конечного итеративного процесса, необходимо улучшающего значение целевой функции на каждом шаге.

Применение симплекс-метода для задачи линейного программирования предполагает предварительное приведение ее формальной постановки к канонической форме с n неотрицательными переменными: (X1,..., Xn), где требуется минимизация линейной целевой функции при m линейных ограничениях типа равенств. Среди переменных задачи выбирается начальный базис из m переменных, для определенности (X1,..., Xm), которые должны иметь неотрицательные значения, когда остальные (n-m) свободные переменные равны 0. Целевая функция и ограничения равенства преобразуются к диагональной форме относительно базисных переменных, переменных, где каждая базисная переменная входит только в одно уравнение с коэффициентом 1:

X₀ + A_0,m+1*X_m+1 +... + A_0,n*X_n = A_0,0 X₁ + A_1,m+1*X_m+1 +... + A_1,n*X_n = A_1,0 .................. X_i + A_i,m+1*X_m+1 +... + A_i,n*X_n = A_i,0 .................. X_m + A_m,m+1*X_m+1 +... + A_m,n*X_n = A_m,0

Данная формальная модель задачи линейного программирования обычно задается в форме так называемой симплекс-таблицы, удобной для выполнения операций симплекс-метода:

Симплекс-таблица

		X1	X2	...	Xm	Xm+1	...	Xn
X0	A0,0			...		A0,m+1	...	A0,n
X1	A1,0			...		A1,m+1	...	A1,n
X2	A2,0			...		A2,m+1	...	A2,n
...	...	...	...	...	...	...	...	...
Xm	Am,0			...		Am,m+1	...	Am,n

Верхняя строка симплекс-таблицы представляет целевую функцию задачи. Каждая строка симплекс-таблицы, кроме первой, соответствует определенному ограничению-равенству задачи. Свободные члены ограничений составляют крайний левый столбец таблицы. Слева от таблицы записаны текущие базисные переменные (X₁,..., X_m). Сверху от таблицы приведен набор всех переменных задачи, где X_m+1,..., X_n - свободные переменные задачи.

Преобразования таблицы надо производить до тех пор, пока не будет получена симплекс-таблица, которая одновременно является прямо и двойственно допустимой.

Данный метод получил широкое распространение и большую популярность по сравнению с другими подходами, так как крайне редко на практике встречаются задачи трудные для симплекс-метода.

6.2.2. Геометрический метод

Применяется для задач с двумя переменными. Метод решения состоит в следующем:

На плоскости Ох₁х₂ строятся прямые, которые задают соответствующие ограничения:

 

a₁₁ x₁ + a₁₁ x₂ + …… + a₁₁ x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + …… + a_2n x_n = b₂,

…………………………………………

a_m1 x₁ + a_m2 x₂ + …… + a_mn x_n = b_m.

Находим множество всех точек х₁,х₂, удовлетворяющим всем неравенствам. Такое множество называется областью допустимых решений. Строим вектор и перемещаем линию уровня, который задается уравнением: с₁х₁+с₂х₂ = const в направлении вектора до последней точки пересечения с ОДР. Эта точка и дает решение задачи L_max = значению L в этой точки

Транспортная задача.

Одна из наиболее распространенных задач математического программирования — транспортная задача. В общем виде ее можно представить так: требуется найти такой план доставки грузов от поставщиков к потребителям, чтобы стоимость перевозки (или суммарная дальность, или объем транспортной работы в тонно-километрах) была наименьшей. Следовательно, дело сводится к наиболее рациональному прикреплению производителей к потребителям продукции (и наоборот). В простейшем виде, когда распределяется один вид продукта и потребителям безразлично, от кого из поставщиков его получать, задача формулируется следующим образом.

Имеется ряд пунктов производства с объемами производства в единицу времени (месяц, квартал), равными соответственно и пункты потребления потребляющие за тот же промежуток времени соответственно продукции. В случае, если решается закрытая (сбалансированная) задача, сумма объемов производства на всех пунктах-поставщиках равна сумме объемов потребления на всех пунктах-получателях:

Кроме того, известны затраты по перевозке единицы продукта от каждого поставщика к каждому получателю — эти величины обозначаются В качестве неизвестных величин выступают объемы продукта, перевозимого из каждого пункта производства в каждый пункт потребления, соответственно обозначаемые .

Тогда наиболее рациональным прикреплением поставщиков к потребителям будет такое, при котором суммарные затраты на транспортировку будут наименьшими:

При этом каждый потребитель получает нужное количество продукта:

и каждый поставщик отгружает весь произведенный им продукт:

Как и во всех подобных случаях, здесь также оговаривается неотрицательность переменных: поставка от какого-то пункта производства тому или иному пункту потребления может быть равна нулю, но отрицательной, т. е. следовать в обратном направлении, быть не может.

Рассмотрим таблицу.

Строки транспортной таблицы соответствуют пунктам производства (в последней клетке каждой строки указан объем запаса продукта ai), а столбцы — пунктам потребления (последняя клетка каждого столбца содержит значение потребности bj). Все клетки таблицы (кроме тех, которые расположены в нижней строке и правом столбце) содержат информацию о перевозке из i-го пункта в j-й: в левом верхнем углу находится цена перевозки единицы продукта, а в правом нижнем — значение объема перевозимого груза для данных пунктов. Клетки, которые содержат нулевые перевозки (x_i,j=0), называют свободными, а ненулевые — занятыми (x_i,j>0).

	В1	В2	……	Вn	Всего
	C1,1	C1,2	……	C1,n	а1
A1	C2,1	C2,2	……	C2,n	а2
A2	….	….	….	….
….	…	…	…	….	….
Am	Cm,1	Cm,2	……	Cm,n	аm
	b1	b2		bn

Несбалансированную (открытую) транспортную задачу приводят к виду, показанному выше, искусственно: в модель вводятся так называемые фиктивный поставщик или фиктивный потребитель, которые балансируют спрос и потребление.

В настоящее время разработано множество различных алгоритмов решения транспортной задачи: распределительный метод, метод потенциалов, дельта-метод, венгерский метод, метод дифференциальных рент, различные сетевые методы и т. д.

Производственно-транспортная задача

Это оптимизационная задача, при которой одновременно с установлением объема производства на отдельных предприятиях определяется и оптимальная схема размещения заказов (т. е. прикрепления поставщиков к потребителям). Она имеет особое значение для так называемых многотоннажных производств, где важен транспортный фактор (например, черные металлы, минеральные удобрения, нефтепереработка).

Такие задачи математически могут быть представлены в двух видах: в сетевой и в матричной постановке. Будучи основанными на принципах транспортной задачи линейного программирования, они очень сложны и решаются специальными, обычно многостадийными приемами с использованием эвристических элементов.