Если геометрия Евклида является только частью геометрии Лобачевского, то выходит, что наш мир – не мир Евклида. Почему же мы не замечаем разницы. Рассмотрим такое понятие как гауссова кривизна пространства. Если мы возьмем кривую поверхность, проведем к какой-то точке касательную, проведем в точку касания отрезок, перпендикулярный касательной плоскости, то мы получим нормаль. Проведя через нормаль плоскость, мы можем найти окружность, наиболее плотно прилегающую к поверхности. Так как мы можем провести сколько угодно плоскостей, то мы можем найти окружности с минимальным и максимальным радиусами. Используя определенные соотношения, можно определить кривизну пространства, которая может быть как положительная, так и отрицательная. На поверхностях с отрицательной кривизной и работает геометрия Лобачевского. Именно такую кривизну имеют графики интенсивности всех электромагнитных полей. Состояние поверхности плазмы также описывается геометрией Лобачевского.
Сам Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определённых интегралов.
Геометрия Лобачевского находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел».
Замечательное приложение геометрия Лобачевского нашла в общей теории относительности. Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается возможным, что при определённых условиях пространство имеет геометрию Лобачевского. Таким образом, предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось.
Значение геометрии Лобачевского для космологии было выявлено А. А. Фридманом. В 1922 он нашел решение уравнения Эйнштейна, из которого следовало, что Вселенная расширяется с течением времени. Метрика, найденная А. А. Фридманом, дает при фиксированном времени пространство Лобачевского. Пространство скоростей специальной теории относительности является пространством Лобачевского. Геометрия Лобачевского с успехом используется при изучении столкновений элементарных частиц и при разработке др. вопросов ядерных исследований.
Создание геометрии Лобачевского явилось важным этапом в развитии учения о возможных свойствах пространства. Особенное значение это имело для оснований математики, т. к. принципы современного аксиоматического метода вырабатывались в значительной степени благодаря появлению геометрии Лобачевского
Через некоторое время идеи Лобачевского были приняты математиками, и следующим этапом развития геометрии стала эллиптическая геометрия Римана. Риман исходил из того, что через точку, не лежащую на данной прямой, вообще нельзя провести прямую, не пересекающую данную.
В геометрии Римана:
· две прямые всегда пересекаются, параллельных прямых совсем нет;
· сумма углов прямолинейного треугольника больше 180°;
· прямая имеет конечную длину, плоскость – конечную площадь и др.
· Частным случаем эллиптической геометрии Римана является сферическая геометрия Римана или геометрия не сфере.
Примеры поверхностей Лобачевского
Для поверхности Лобачевского необходима постоянная отрицательная кривизна во всех её точках. Известно множество различных вариантов таких поверхностей:(см.рис 4)
[Рис.4 Псевдосферические поверхности.]
Многие поверхности постоянной отрицательной кривизны названы именами математиков, которые их исследовали и описали:
Поверхность Дини и поверхность Бианки – Амслера.
На приведённых рисунках видно, что поверхности постоянной отрицательной кривизны либо имеют край, либо замкнуты.
Кривизна пространства проявляется в больших масштабах и вблизи массивных космических тел, а в повседневной жизни на нашей планете мы можем с успехом пользоваться геометрией Евклида с большой точностью, так как нелинейные поправки на кривизну пространства ничтожно малы.
Заключение.
Хотя Лобачевский доказал, что геометрия Евклида не является единственно возможной, однако это не подорвало незыблемость геометрии Евклида.
В основе геометрии Евклида лежат понятия и аксиомы, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой. Только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок развитию науки, способствовало более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.
Ученых издавна волновал вопрос – в каком мире мы живем? Какой геометрией он описывается? Сейчас вселенная расширяется, но если масса вещества всей вселенной превысит определенный порог, то расширение сменится сжатием, то есть пространство будет искривлено таким образом, что луч света, однажды покинув одну точку, вернется обратно, а это значит, мы живем в мире эллиптической геометрии Римана. Если массы не хватит, то вселенная будет расширяться неограниченно, а значит, мы живем в мире гиперболической геометрии Лобачевского.
Я считаю, что я достигла цели, которую поставила в своей работе. Я получила представление о стройной теории – геометрии Лобачевского, при этом я получила навыки исследовательской деятельности, активно включилась в процесс познания и творческой реализации.
Список литературы
1. Лобачевский, Н. Полное собрание сочинений, том первый, Геометрические исследования по теории параллельных линий. О началах геометрии. / Н. Лобачевский, В. Каган. – М.: «Гостехиздат», 1946. - 415 с.
2. Колесников, М. Лобачевский. Серия «Жизнь замечательных людей». / М. Колесников. – М.: «Молодая гвардия», 1965. – 340 с.
3. Широков, П. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. / П. Широков. – М.: «Наука», 1983 – 210 с.
4. Бобров, С. Волшебный двурог. / С. Бобров. – М.: «Детская литература», 1967– 213 с.
5. Прасолов, В. Геометрия Лобачевского. / В. Прасолов. – М.: «Дрофа», 2004 – 560 с.
6. Уэйлс, Д. Wikipedia. Свободная энциклопедия / Д. Уэйлс, Л. Сэнгер, 2001-2015. Режим доступа: https://wikipedia.org/