Разложение функций в степенной ряд

Лекции 33,34. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенной ряд (4ч)

Содержание лекции:

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функции в степенной ряд, необходимое, достаточные условия. Приложения степенных рядов. Примеры.

Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций. Приближенное вычисление значений функции с помощью степенных рядов.

Ряд Тейлора и Маклорена

Пусть дана функция f(x) , непрерывная на некотором множестве D и х₀Î D. Если $ сходящийся степенной ряд такой, что сумма этого ряда совпадает с f(x) в некоторой окрестности точки х₀, , т.е.

= f(x) ,

то говорят, что функция f(x) разлагается в степенной ряд в окрестности точке х₀ ( или в ряд по степеням х – х₀ ).

Теорема 2.

Если функция f(x) разлагается в ряд по степеням (х – х₀), то коэффициенты этого ряда равны .

Доказательство. Пусть в окрестности х₀ справедливо разложение

f(x) = а₀ + а₁(х – х₀) + а₂(х – х₀)² + а₃(х – х₀)³+ а₄(х – х₀)⁴ + ... (3)

Положим в этом равенстве х = х₀, получим а₀ = f(x₀) .

Так как ряд в окрестности х₀ сходится, то его можно дифференцировать. Продифференцируем равенство (3) п раз, получим

f¢ (x) = а₁ +2а₂(х – х₀) + 3а₃(х – х₀)² + 4а₄(х – х₀)³ +...,

f¢¢ (x) = 2а₂+ 6а₃(х – х₀)+12 а₄(х – х₀)² + ...,

f¢¢¢ (x) = 6а₃+ 24а₄(х – х₀) + ...,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f ^(п)(x) = п(п–1)(п–2)...2а_п + (п+1)п(п–1)...2 а_п₊₁(х – х₀) +...

Полагая в этих равенствах х = х₀, получим

f¢ (x₀) = а₁, или а₁= f¢ (x₀),

f¢¢ (x₀) = 2а₂, откуда ,

f¢¢¢ (x₀) = 6а₃, откуда ,

. . . . . . . . . . . . .

f ^(п)(x₀) = п(п–1)(п–2)...2а_п, откуда . ЧТД.

Определение 1. Степенной ряд называетсярядом Тейлора в точке х₀ для функции f(x) , а коэффициенты этого ряда называются коэффициентами Тейлора для функции f(x) .

Из теоремы 7.2. следует:

1) если функция f(x) разлагается в степенной ряд в окрестности точки х₀, то это есть обязательно ряд Тейлора этой функции:

f(x) = .

2) Если функция f(x) разложима в степенной ряд в окрестности точки х₀, то она бесконечное число раз дифференцируема в этой окрестности (это свойство называют необходимым условием разложимости в степенной ряд).

Теорема 7.2. формулирует необходимое, но не достаточное условие разложимости функции в степенной ряд. Т.е. нельзя утверждать, что ряд Тейлора, формально составленный для функции f(x) , сходится обязательно к этой функции.

Например, функция бесконечно дифференцируема в окрестности нуля, но ее ряд Тейлора имеет совершенно другую сумму.

Достаточные условия сходимости ряда Тейлора к самой функции (т.е. разложимости функции в степенной ряд) дает следующая

Теорема 3.

Для того чтобы функция f(x) могла быть разложена в степенной ряд (ряд Тейлора) в окрестности U(x₀) точки х₀, необходимо и достаточно, чтобы остаток этого ряда стремился к нулю при п ®¥ "х из этой окрестности , т.е.

f(x) = Û

для всех хÎU(x₀).

При этом исследование поведения остатка ряда удобно проводить, используя различные формы записи остатка ряда, в частности форму Лагранжа:

где x – некоторое число, удовлетворяющее условию 0 < |x – x₀| < |x – x₀|, т.е. число x расположено между х и х₀.

Определение 2.

Функция, которая на некотором интервале может быть представлена своим сходящимся рядом Тейлора, называется аналитическойна этом интервале.

Из определения следует, что сумма сходящегося степенного ряда есть аналитическая функция в интервале сходимости ряда.

Разложение функций в степенной ряд

Вопрос представления функции многочленом Тейлора мы рассматривали еще в первом семестре. Естественно поставить вопрос разложения функции в степенной ряд. Учитывая предыдущую информацию, можно определить следующий алгоритм разложения функции f(x) в степенной ряд в окрестности заданной точки х₀:

1. Найти производные заданной функции до п-го порядка включительно (т.е. записать формулу для f ^(п)(x) ) и вычислить их значения в точке х₀.

2. Записать формально ряд Тейлора для f(x) .

3. Найти область сходимости этого ряда.

4. Выяснить, для каких х из области сходимости ряда выполняется условие 0

Пример 1. Разложим функцию е^х в ряд в окрестности точки х = 0 (ряд Тейлора с центром в точке х = 0 называется рядом Маклорена). Будем пользоваться сформулированным алгоритмом.

1. Очевидно, f ^(п)(x) = е^х, тогда f ^(п)(0) = 1

2. ряд Тейлора имеет вид

3. Радиус сходимости этого ряда найдем, используя формулу . Так как , то , значит, ряд сходится на всей числовой прямой.

4. Изучим поведение остатка ряда. Запишем остаток ряда в форме Лагранжа:

à , где 0 < |x| < |x|. Заметим, что здесь – некоторое (конечное) число, а – (п+1)-й член рассмотренного ряда Тейлора, а так как ряд сходится " х, то его п-й член (а значит и п+1-й) стремится к 0 при возрастании п. Тогда

"х.

Значит, е^х = , х Î R.

Пример 2. Разложим в ряд Маклорена функцию f(x) = sin x. Имеем:

f(x) = sin x, f(0) = 0

f¢(x) = cos x = sin , f ¢(0) = 1

f¢¢(x) = –sin x = sin (x + p ), f ¢¢(0) = 0

f¢¢¢(x) = –cos x = sin , f ¢¢¢(0) = –1

f ^IV(x) = sin x = sin (x + 2p ), f ^IV(0) = 0,

. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .

f⁽ⁿ⁾(x) = sin , f^(2k)(0) = 0, f^{(2k –1)}(0) = (–1)^k⁺¹.

Тогда ряд Тейлора имеет вид

Найдем область сходимости этого ряда:

< 1"х

Значит, область сходимости – вся числовая прямая.

Остаток ряда в форме Лагранжа имеет вид

Тогда |R_n(x)| = и

, значит "х.

Таким образом, "хÎ R.

Учитывая свойства степенных рядов, находим, продифференцировав полученное разложение:

То есть имеем разложение cos x = , "хÎ R.

Ранее мы получили разложения

, |x|< 1, и , хÎ(-1; 1].

Если в первом из этих равенств положить х = t² , получим

, или, в привычных символах, , хÎ(-1; 1).

Проинтегрировав последнее равенство, получим

, т.е.

, хÎ(-1; 1).

Заметим, что в граничных точках полученный ряд сходится условно:

при х = –1 имеем , а при х = 1 получаем ; оба эти ряда сходятся по признаку Лейбница (проверьте!). Ряд из модулей членов этих рядов один и тот же и он расходится, что можно без труда доказать, пользуясь интегральным признаком. Тот факт, что данные ряды сходятся соответственно к arctg(–1) = и arctg1 = мы сможем доказать позже, изучив тригонометрические ряды. Итак, , хÎ[-1; 1].

Пользуясь вышеописанным алгоритмом можно получить следующее разложение

, хÎ(-1,1).

Таким образом, мы имеем перечень известных разложений:

I. е^х = , х Î R

II. "хÎ R

III. cos x = , "хÎ R.

IV. , |x|< 1,

V. , |x|< 1.

VI. , хÎ(-1; 1].

VII. , хÎ[-1; 1].

VIII. , |x| < 1

Как следует из рассмотренных примеров, разложение в ряд заданной функции можно осуществить двумя способами: по определению (т.е. пользуясь описанным алгоритмом) и пользуясь известными разложениями, делая разного рода подстановки, дифференцируя или интегрируя ряд почленно.

Рассмотрим другие примеры разложений.

Пример 3. Разложить заданные функции по степеням х

1) ,