Рассмотрим СЛУ
(1)
где т ¹ п., такую систему называют «прямоугольной». В этом случае применить матричный метод или правило Крамера невозможно (определитель прямоугольной матрицы не определен). Метод решения прямоугольной системы основан на преобразовании этой системы к равносильной ей системе более простого вида.
Определение 2.
Две СЛУ называются равносильными (эквивалентными), если каждое решение одной из них является решением другой и наоборот.
Перечислим преобразования, которые можно производить над уравнениями СЛУ с целью приведения ее к равносильной системе:
| · перестановка местами уравнений в системе; · умножение любого уравнения системы на число, отличное от нуля; · прибавление к обеим частям одного уравнения системы соответствующих частей другого; · отбрасывание уравнения, в котором все коэффициенты при неизвестных и свободный член равны нулю. |
|
Один из методов решения произвольных систем, называемый методом Гаусса, состоит в том, что с помощью преобразований прямоугольная СЛУ приводится к равносильной ей системе треугольного вида
(4)
или усеченного треугольного вида (трапециевидной формы)
(5)
Такие системы легко исследовать и решить. Здесь неизвестные 
– это неизвестные х 1, х 2,..., хп, может быть, переставленные местами, а k £ n, k £ m.
Эти системы специального вида получают так: выбирают какое-либо уравнение и неизвестное 
в нем, поставив это уравнение и неизвестное на первое место в системе (т.е. считают = 
), исключают выбранное неизвестное из остальных уравнений, обращая коэффициенты при этом неизвестном в ноль. Затем выбирают неизвестное 
, оставляют его в двух первых уравнениях на втором месте и исключают из остальных, и так далее.
Если в результате преобразований получились уравнения вида
0 хк + 0 хк +1 +...+ 0 хn = d, d ¹ 0,
то система несовместна, т.к. никакая совокупность чисел (a1, a2, a3,…, a п) этому уравнению не удовлетворяет.
Если таких уравнений в преобразованной системе нет, то полученная система (а, следовательно, и исходная) совместна.
Если получена система вида (4), то её решение находят «обратным ходом»: из последнего уравнения находят 
, подставляя это значение в предпоследнее уравнение, находят 
, и так далее, вверх по системе, доходят до неизвестного х ¢1.
Если в результате преобразований получилась система вида (5), то поступают следующим образом.
Поскольку число уравнений системы (5) меньше числа неизвестных (k < n), то из этих уравнений можно найти только k неизвестных (коэффициенты при которых образуют отличный от нуля определитель, чаще всего это те, которые занимают первые k мест в уравнениях). Эти неизвестные называют базисными, их оставляют в левой части уравнений системы. Остальные неизвестные называют свободными, их переносят в правую часть уравнений и считают известными, принимающими произвольные значения:
В результате получится система вида (4), из которой «обратным ходом» находят неизвестные 
как функции свободных неизвестных
Так как свободным неизвестным можно придавать произвольные значения, то система имеет бесчисленное множество решений, а значит, и исходная система имеет бесчисленное множество решений.
Совокупность
называется общим решением системы (5), и, следовательно, системы (1). Придавая в общем решении свободным неизвестным конкретные числовые значения, будем получать частное решение системы.
Реализация метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе.
Рассмотрим расширенную матрицу`А исходной системы. Легко убедиться в том, что преобразования (6), приводящие систему линейных уравнений к треугольной или трапециевидной форме выполняются, по существу, над строками и столбцами этой матрицы:
§ перестановка строк;
§ умножение любой строки на число, отличное от нуля;
§ прибавление какой-либо строки матрицы, умноженной на число, к другой строке;
§ отбрасывание нулевой строки.
Поэтому вместо преобразований уравнений системы проводят соответствующие преобразования расширенной матрицы этой системы. Такие преобразования называются элементарными преобразованиями матрицы.
Рассмотрим пример. Решить систему методом Гаусса:
Запишем расширенную матрицу системы и произведем элементарные преобразования над строками этой матрицы:
По последней матрице составим систему уравнений, равносильную исходной:
Поскольку в результате преобразований не получилось ни одного уравнения вида
0 х к + 0 х к+1 +...+ 0 х n = b, b ¹ 0,
то полученная система имеет решение. Так как неизвестных в этой системе больше чем уравнений, то разобьем эти неизвестные на базисные и свободные. За базисные возьмем два неизвестных системы, коэффициенты при которых образуют отличный от нуля определитель, это, например, х 1 и х 2 : 
. Остальные неизвестные х 3 и х 4 считаем свободными и перенесем их в правые части уравнений системы. Получим систему
Чтобы записать все множество решений системы (общее решение), положим х 3 = с 1, х 4 = с 2, где с 1, с 2 – произвольные действительные числа. Получим
Из второго уравнения этой системы находим
.
Подставляя найденное значение х 2 в первое уравнение, найдем неизвестное х 1:
.
Тогда можно записать
, с 1, с 2 Î R.
Эта матрица-строка и есть общеерешение заданной системы.
Придавая с 1 и с 2 любые числовые значения, можно получать частные решения:
при с 1 = 0, с 2 = 1 получим 
– частное решение.
Другой пример. Рассмотрим систему
Возьмем расширенную матрицу этой системы и проведем над ней элементарные преобразования:
Þ 
Запишем по полученной матрице систему линейных уравнений
.
Поскольку в результате преобразований получили уравнение вида
0 х к + 0 х к+1 +...+ 0 х n = b, b ¹ 0: 
,
значит, исходная система решений не имеет.
Метод Гаусса является методом исследования и решения системы линейных уравнений. Во многих прикладных вопросах возникает необходимость только исследования системы. Это можно сделать с помощью понятия ранга матрицы системы и теоремы Кронекера-Капелли.