Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»
Кафедра математики
“ Приложения производной функции одной действительной переменной ”
Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов всех направлений подготовки бакалавров
очной формы обучения
Брянск 2011
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»
Кафедра математики
УТВЕРЖДЕНЫ
Научно-методическим
Советом академии
Протокол № ____
oт “____”___________2011 г.
“ Приложения производной функции одной действительной переменной ”
Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов всех направлений подготовки бакалавров
очной формы обучения
Брянск 2011
Авторы:
Антоненкова Ольга Евгеньевна
Баранова Ирина Михайловна
Часова Наталья Александровна
Рецензент: профессор каф. физики, к. физ.-мат. наук Евтюхов К. Н.
Рассмотрены УМК МТФ
Протокол № от
Содержание
Введение. 5
1. Определение производной. Дифференцирование функций. 6
2. Геометрические приложения производной. Уравнения касательной и нормали 7
3. Дифференцирование неявных функций. 9
4. Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 11
5. Производные и дифференциалы высших порядков. 13
6. Правило Лопиталя. 14
7. Применение производной к исследованию функций и построению графиков 16
8. Нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке 28
9. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин. 29
Варианты заданий для РГР. 33
Литература. 44
Введение
Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:
1) о разыскании касательной к произвольной линии
2) о разыскании скорости при произвольном законе движения
Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 – 1557 гг.) – здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.
Определение производной. Дифференцирование функций
Производной функцииу = f (x) называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю:
. (1)
Если этот предел конечный, то производная существует, а функция f (x) называется дифференцируемой в точке x. Производная обозначается или ,или Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции.
Правила дифференцирования функций. Пусть С Î R – постоянная, и = и (х), v = v (x) — функции, имеющие производные.
1. | С ' = 0. | 4. | (Си) ' =С ∙ u'. |
2. | (u ± v) ' = и' ± v'. | 5. | . |
3. | (u ∙ v) ’ =u’ ∙ v + u ∙ v’. |
6. Правило дифференцирования сложной функции. Если функция y = f (u) дифференцируема по и, а функция и = φ (x) – по х, то сложная функция y = f (φ (x)) имеет производную y' =f ' (u) ∙ u' (x).
Таблица производных элементарных функций
1. | 9. | cos u× u ¢ | |
2. | 10. | ||
3. | 11. | (ctg u) | |
4. | 12. | ||
5. | 13. | ||
6. | 14. | ||
7. | 15. | ||
8. |
16. (логарифмическая производная).
2. Геометрические приложения производной.
Уравнения касательной и нормали
Геометрический смысл производной состоит в следующем: производная функции f (x) в точке х 0 равна угловому коэффициенту касательной к кривой y = f (x) в точке (х 0; f (x 0)), т.е. равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси О х (рис.1).
Если функция f дифференцируема в точке х 0, то график этой функции имеет касательную, угловой коэффициент которой равен .
Рисунок 1 – Геометрическое приложение производной.
Тогда уравнение касательной имеет вид
. (2)
Прямая, проходящая через точку M0(x 0; y 0) и перпендикулярная к касательной, называется нормалью к графику функции в точке M0(x 0; y 0). Тогда , и, значит, уравнение нормали имеет вид
. (3)
Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к кривым в этой точке.
Угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами и находится по формуле:
, (4)
причем знак “плюс” соответствует острому углу , а знак “минус”– тупому.
Если , то касательные – взаимно перпендикулярны, а кривые называются ортогональными.
Пример 2.1. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой x 0=1.
Решение. Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x 0 имеет вид (2).
Вычислим значение функции в данной точке: .
Найдем производную функции и ее значение в данной точке:
, .
Подставим найденные значения в уравнение касательной:
, – уравнение касательной.
Уравнение нормали к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x 0 имеет вид (3).
Подставим найденные значения в это уравнение:
, – уравнение нормали.
Пример 2.2. Найти уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой . Сделать чертеж.
Решение. График функции – парабола. Так как при , , то вершиной параболы является точка (2; –1). По условию, касательная к параболе и данная прямая с уравнением параллельны; значит их угловые коэффициенты равны: k 1 = y′ 1 , , . Следовательно, x 0 = 3 – абсцисса точки касания параболы и прямой , – ее ордината. Таким образом, уравнение касательной имеет вид: (рис. 2).
Рисунок 2 – Иллюстрация к примеру 2.2.