XI. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
Основные вопросы
1. Особенности расчета переходных режимов в нелинейных цепях.
2. Основные методы расчета переходных процессов в нелинейных цепях:
а) метод графического интегрирования;
б) метод последовательных интервалов (численный метод);
в) метод кусочно-линейной аппроксимации;
г) метод переменных состояния:
· основные положения метода переменных состояния;
· выбор переменных состояния;
· получение уравнений состояния цепи первого порядка;
· решение уравнений состояния цепи первого порядка.
ЛИТЕРАТУРА
1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А.., Нетушил А.В., Страхов С. В. Основы теории цепей. – М.: Госэнергоиздат, 1989. – §15.5 – 15.7.
2. Анализ переходных процессов в нелинейных цепях методом переменных состояния. Сост. Л.И. Малинин, Н.А. Юрьева. – Новосибирск, 1989.
3. Бессонов Л.А. Нелинейные электрические цепи. – М.: Высшая школа, 1964. – §13.1–13.5, 13.11–13.16.
ПРИМЕРЫ
Задача 1
Методом графического интегрирования найти ток в цепи (рис. а) после коммутации.
Параметры цепи: L = 10 Гн; r = 200 Ом; Е = 300 В. Вольт-амперная характеристика нелинейного резистивного сопротивления представлена на рис. б.
Решение
Методом графического интегрирования решаются лишь дифференциальные уравнения, допускающие разделение переменных.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа рассматриваемая цепь описывается следующим дифференциальным уравнением:
.
Данное уравнение может быть представлено в виде, удобном для интегрирования
,
откуда следует: 
.
После разделения переменных появляется возможность определения времени переходного режима, соответствующего тому или иному значению переходной величины, по соотношению:
. (1)
В соответствии с уравнением (1) строится зависимость 
и определяется время, соответствующее конкретному значению переходного тока через площадь, ограниченную кривой f (i) и осью абсцисс.
На рис. б показано графическое построение, из которого находится 
.
На рис. в построена кривая . Все расчеты, необходимые для построения зависимости f (i) и функции i (t), сведены в таблицу.
| i, A | u н(i), B | E – ri, B | uL=E-u н (i)-ri, B |  , А/с
|  , с/А
| t, с |
| 0,033 | ||||||
| 0,1 | 7,5 | 272,5 | 27,25 | 0,037 | 0,4·10–2 | |
| 0,2 | 24,5 | 0,041 | 0,85·10–2 | |||
| 0,3 | 22,5 | 217,5 | 21,75 | 0,046 | 1,3·10–2 | |
| 0,4 | 18,7 | 0,0535 | 1,72·10–2 | |||
| 0,5 | 15,3 | 0,0655 | 2,25·10–2 | |||
| 0,6 | 0,0835 | 3·10–2 | ||||
| 0,7 | 77,5 | 82,5 | 8,25 | 0,121 | 3,75·10–2 | |
| 0,8 | 0,25 | 5·10–2 |
При подсчете площади, ограниченной кривой 
и осью абсцисс, пропорциональной времени t, необходимо учитывать масштаб тока (mi) и масштаб функции 
.
(Для графика, представленного на рис. в, 
, 
.)
В результате, 
.
(В качестве примера, на рис. в показан подсчет площади S, соответствующей времени переходного режима, по истечении которого ток достигает значения 0,6 А.). График изменения искомого тока i (t) представлен на рис. г.
Задача 2
Методом кусочно-линейной аппроксимации определить переходный ток i (t) в схеме, представленной на рис. а.
Е = 12,1 В; r = 7,5 Ом; L = 0,5 Гн. Вольт-амперная характеристика диода приведена на рис. б.
Решение
Переходный режим в рассматриваемой цепи описывается нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка:
. (1)
Для решения уравнения (1) реальная нелинейная характеристика диода аппроксимируется ломаной линией (рис. б), состоящей из двух линейных участков 0– 1 и 1–2. Уравнение каждого из линейных участков:
; (2) 
(3)
Для каждого из линейных участков аппроксимированной характеристики нелинейное дифференциальное уравнение (1) вырождается в линейное, решение которого можно найти, например, классическим методом.
1. Для участка 0– 1 аппроксимированной характеристики дифференциальное уравнение (1) с учетом (2) принимает вид:
или
(4)
Уравнение (4) описывает переходный режим в интервале времени (0 £ t £ t 1), где t 1 соответствует моменту времени, когда переходный ток достигает значения I 1 = 0,2 A.
Решение уравнения (4): 
.
· Принужденная составляющая переходного тока (при 
):
А.
· Характеристическое уравнение 0,5 р *+ 20 = 0 имеет решение р * = - 40 с–1.
· Постоянная интегрирования А * определяется с учетом закона коммутации 
. В результате, 
= –0,605 А.
Таким образом, переходный ток в интервале времени (0 £ t £ t 1) определяется соотношением
. (5)
Момент времени t 1, в который ток i *(t) должен достичь значения I 1 = 0,2 A, может быть определен из выражения (5):
А,
откуда t 1 = 0,01 с.
2. Для участка 1–2 аппроксимированной характеристики (рис. б) дифференциальное уравнение (1) с учетом (3) принимает вид:
или
(6)
Уравнение (6) описывает переходный режим в интервале времени (t 1 £ t £ ¥).
Решение уравнения (6):
. (7)
· Принужденная составляющая переходного тока (при 
):
А.
· Характеристическое уравнение 0,5 р **+ 10 = 0 имеет решение р ** = - 20 с–1.
Постоянная интегрирования А ** определяется из условия невозможности скачка переходного тока (первый закон коммутации) в момент времени t = t 1, т.е. из условия:
. (8)
Из тождества (8) с учетом (5) и (7) при t 1 = 0,01 с и 
А следует:
А.
В результате, 
А.
Окончательно выражение для переходного тока в интервале времени (t 1 £ t £ ¥) определится соотношением
А.
3. Рассчитанные зависимости искомого переходного тока представлены на рис. в.
Задача 3
Используя метод последовательных интервалов (численный метод), определить переходные функции тока i (t) и потокосцепления y(t) в цепи, представленной на рис. а.
r = 200 Ом; E = 100 B. Вебер-амперная характеристика нелинейной индуктивности задана выражением 
, где [ i ] = A; [y] = Вб.
Решение
Переходный режим в рассматриваемой цепи описывается нелинейным дифференциальным уравнением, составленным на основании второго закона Кирхгофа:
. (1)
Уравнение (1) может быть приведено к виду:
. (2)
Уравнение (2) может быть представлено в конечно-разностной форме для (k +1) временнóго интервала:
. (3)
Из тождества (3) следует 
или
, (4)
где 
- значение функции в конце рассматриваемого временнóго интервала; y k и ik – значения функций в начале рассматриваемого временнóго интервала.
Уравнения (4) решаются в следующем порядке:
· задаются достаточно малым приращением D t (чем меньше Dt, тем точнее расчет);
· в начале первого интервала (k = 0), как следует из первого закона коммутации и вебер-амперной характеристики, i 0 = 0, y0 = 0;
· значение потокосцепления в конце первого интервала (k = = 0) определяется соотношением (4): 
. По характеристике y(i) определяется значение тока i 1, соответствующее найденному значению потокосцепления y1;
· значения y1 и i 1, являющиеся начальными значениями функций на втором временнóм интервале (k = 1), позволяют определить с помощью уравнения (4) значение потокосцепления в конце этого интервала: 
и вслед за этим по характеристике y(i) найти ток i 2 в конце рассматриваемого интервала;
· далее расчет повторяется до тех пор, пока потокосцепление и ток в конце очередного временнóго интервала не совпадут с требуемой точностью со значениями этих функций в начале рассматриваемого интервала (фактически расчет заканчивается тогда, когда очередное найденное значение тока совпадет с заданной погрешностью с установившимся значением тока 
А).
Результаты расчета методом конечных элементов при выбранном значении D t = 0,2·10–3 с сведены в таблицу.
| k | t, с | ik, А | y k,Вб | E – ikr, В | y k +1, Вб | ik +1, А |
| 0,2·10–3 | 0,02 | 1,08·10–4 | ||||
| 0,4·10–3. | 1,08·10–4 | 0,02 | 99,98 | 0,0399 | 1,727·10–3 | |
| 0,6·10–3 | 1,727·10–3 | 0,0399 | 99,7 | 0,0599 | 8,64·10–3 | |
| 0,8·10–3 | 8,64·10–3 | 0,0599 | 98,27 | 0,0796 | 2,67·10–2 | |
| 1·10–3 | 2,67·10–2 | 0,0796 | 94,66 | 0,0985 | 6,34·10–2 | |
| 1,2·10–3 | 6,34·10–2 | 0,0985 | 87,32 | 0,124 | 1,258·10–1 | |
| 1,4·10–3 | 1,258·10–1 | 0,124 | 74,84 | 0,138 | 2,025·10–1 | |
| 1,6·10–3 | 2,025·10–1 | 0,138 | 59,5 | 0,144 | 2,89·10–1 | |
| 1,8·10–3 | 2,89·10–1 | 0,144 | 42,2 | 0,1518 | 3,465·10–1 | |
| 2·10–3 | 3,465·10–1 | 0,1518 | 30,7 | 0,1615 | 4,3·10–1 | |
| 2,2·10–3 | 4,3·10–1 | 0,1615 | 17,4 | 0,1633 | 4,54·10–1 | |
| 2,4·10–3 | 4,54·10–1 | 0,1633 | 9,2 | 0,1634 | 4,76·10–1 | |
| 2,6·10–3 | 4,76·10–1 | 0,1634 | 4,8 | 0,1635 | 4,875·10–1 |
По данным расчета построены временные зависимости y(t) и i (t), представленные на рис. б и в.
Задача 4
С помощью метода переменных состояния рассчитать и построить uc (t) в схеме (рис. а).
Параметры цепи: E = 120 B; r 1 = 30 Ом; r 2 = 20 Ом. Кулонвольтная характеристика нелинейного конденсатора задана в таблице.
| q, 10–6К | ||||||||
| uc, В |
Решение
1. Составление уравнений состояния цепи. Рассматриваемая цепь имеет первый порядок, поэтому для расчета переходного процесса методом переменных состояния требуется лишь одно уравнение состояния цепи. В качестве переменной состояния цепи целесообразно рассматривать заряд q на обкладках нелинейного конденсатора. С учетом этого уравнение состояния цепи должно иметь вид: 
. Для получения требуемого уравнения состояния цепи достаточно составить систему уравнений на основании законов Кирхгофа, описывающую переходный режим в рассматриваемой цепи,
(1)
и разрешить ее относительно тока 
: 
;
;
.
После подстановки числовых значений
. (2)
Полученное уравнение является уравнением состояния рассматриваемой цепи (рис. а).
2. Определение области изменения переменных состояния.
· Определение начального значения переменной состояния q (0+): на основании второго закона коммутации u c(0+) = u c(0-);
как следует из схемы (рис. б), u c(0-) = Е = 120 В.
Следовательно, u c(0+) = 120 В.
Начальное значение напряжения на нелинейном конденсаторе предопределяет (в соответствии с кулонвольтной характеристикой, представленной на рис. в) начальное значение заряда на обкладках конденсатора: q (0+) = 47·10–6 К.
· Установившееся значение напряжения на конденсаторе 
определяется по уравнению состояния (2) при условии 
В результате, = 48 В. Найденное значение установившегося напряжения предопределяет (в соответствии с кулонвольтной характеристикой, представленной на рис. в) установившееся значение заряда q уст = 33·10–6 К.
Таким образом, пределы изменения переменной состояния q и напряжения на конденсаторе u c: q Î [47; 33]·10–6 К; u cÎ[120; 48] В.
3. Решение уравнения состояния (в качестве примера рассматриваются два метода: метод численного интегрирования и метод кусочно-линейной аппроксимации характеристики нелинейного элемента):
а) метод численного интегрирования уравнения состояния:
согласно алгоритму Эйлера
, (3)
где k – номер временнóго интервала; D t – шаг интегрирования (может быть увеличен, если q изменяется медленно); tk – время, соответствующее началу k -го интервала; 
– приращение переменной состояния; uc (tk) – напряжение на емкости в начале временнóго интервала, соответствующее величине заряда q (tk) и определяемое по кулонвольтной характеристике (рис. в).
Результаты расчета приведены в таблице.
| Величина, размерность | Номер интервала k | ||||||||
| Dtk, 10–6c | – | 0,5 | 1,5 | 1,5 | 1,5 | 2,5 | |||
| tk, 10–6c | 0,5 | 1,5 | 4,5 | 12,5 | |||||
| Dq (tk), 10–6К | –3 | –2,67 | –2,5 | –1,5 | –0,875 | –1 | –0,67 | –0,416 | |
| q (tk), 10–6К | 41,38 | 38,83 | 37,33 | 36,455 | 35,455 | 34,875 | 34,369 | ||
| u c(tk), В |
Зависимость uc (t) приведена на рис. г (кривая 1);
б) метод кусочно-линейной аппроксимации характеристики нелинейного элемента:
1) в пределах изменения переменной состояния q Î [47; 33]·10–6 К аппроксимируем кулонвольтную характеристику q (uc), например, двумя линейными участками (см. рис. в):
· участок 1–2: q Î [47; 45]·10–6 К; u c Î[120; 68] В;
· участок 2–3: q Î [45; 33]·10–6 К, u c Î[68; 48] В.
Составим описание аппроксимированной характеристики q (uc) на каждом из участков, используя уравнение прямой, проходящей через две точки.
Участок 1–2:
. (4)
Решая уравнение (4) относительно 
, получим:
= 26·106 q 1 – 1102. (5)
Участок 2–3:
. (6)
Решая уравнение (6) относительно 
, получим:
= 1,67·106 q 2 – 7; (7)
2) решение уравнения состояния для линейных участков аппроксимированной характеристики.
· Подстановка уравнения (5) в выражение (2) позволяет получить уравнение состояния для участка 1–2:
. (8)
Найдем решение линейного дифференциального уравнения (8) классическим методом. Установившееся значение заряда на обкладках конденсатора (при 
):
К.
Свободная составляющая 
,
где р 1 = – 2,166·106 с–1 - корень характеристического уравнения; А 1 – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий: А 1 = q 1(0+) – 
= 47·10–6 – 44,2·10–6 =2,8·10–6 К.
Таким образом,
К. (9)
После подстановки (9) в (5) получим:
В. (10)
В соотношениях (9) и (10) t Î [0; t 1].
Начальная точка участка 2–3 является конечной точкой участка 1–2, что дает возможность определить время t 1 перехода рабочей точки с одного линейного участка аппроксимированной характеристики на другой: 
, откуда t 1 = 0,58·10–6 c;
· Подставив уравнение (7) в соотношение (2), получим уравнение состояния для участка 2–3 аппроксимированной нелинейной характеристики:
. (11)
Уравнение (11), как и уравнение (8), решаем классическим методом: 
. Установившееся значение заряда на обкладках конденсатора (при 
):
К;
К;
p 2 = – 0,14·106 c–1, – корень характеристического уравнения,
К. (12)
После подстановки (12) в (7) получим:
В, (13)
где t Î [ t 1; ¥].
По уравнениям (10) и (13) построена зависимость u c(t), представленная на рис. г (кривая 2).
Задача 5
В схеме, представленной на рис. а, 
В; 
Ом; 
Ом; 
Ом. Вебер-амперная характеристика нелинейной индуктивности задана табл. 1.
Таблица 1
 , А
| 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,8 | 1,0 | 1,2 | |
 , мВб
| 13,5 | 16,5 | 21,8 |
Используя метод переменных состояния рассчитать и построить 
.
Решение
- Составление уравнения состояния цепи (рис. а).
В качестве переменной состояния целесообразно выбрать потокосцепление 
. Для режима после коммутации составим систему уравнений по законам Кирхгофа и решим ее относительно 
.
;
; 
;
;
;
. (1)
Соотношение (1) является уравнением состояния цепи (рис. а).
2. Определение области изменения переменной состояния 
.
· Начальное значение потокосцепления определяется с помощью первого закона коммутации. Из расчета цепи до коммутации (рис. б).
= 
А;
А.
По вебер-амперной характеристике определяем
мВб.
· Установившееся значение потокосцепления определяется из уравнения состояния при условии 
и может быть найдено путем расчета цепи после коммутации в установившемся режиме.
; 
А; 
мВб.
Таким образом, в переходном процессе:
А и 
мВб.
3. Решение уравнения состояния (в качестве примера рассматриваются два метода: метод численного интегрирования и метод кусочно-линейной аппроксимации характеристики нелинейного элемента):
а) метод численного интегрирования уравнения состояния: в соответствии с алгоритмом Эйлера:
= 
+ 
= 
,
где k – номер интервала; 
– шаг интегрирования (он может быть увеличен, если 
будет изменяться медленно); tk – время, соответствующее началу k –го интервала;
– приращение переменной состояния; 
– ток в индуктивности, соответствующий величине и определяемый по характеристике нелинейной индуктивности (рис. в).
Результаты расчета сведены в табл. 2.
Таблица 2
| Величина | Номер интервала k | ||||||||||
 , мкС
| – | ||||||||||
| tk, мкС | |||||||||||
 , мВб
| 11,2 | 12,3 | 13,3 | 14,3 | 15,2 | 15,9 | 17,4 | 18,5 | 19,4 | 19,9 | |
 , А
| 0,1 | 0,14 | 0,17 | 0,2 | 0,23 | 0,26 | 0,29 | 0,37 | 0,47 | 0,55 | 0,6 |
 , мВб
| 1,2 | 1,1 | 1,03 | 0,96 | 0,89 | 0,8 | 1,5 | 1,1 | 0,94 | 0,48 | – |
В процессе расчета шаг интегрирования изменялся ввиду медленного увеличения . Расчет прекращен при достижении 
=19,9 мВб, отличающегося от мВб на величину менее 5%.
График искомого тока 
построен на рис. г (линия 1);
б) метод кусочно-линейной аппроксимации: в пределах изменения переменной состояния 
мВб аппроксимируем характеристику нелинейного элемента двумя линейными участками (см. рис. в):
1) участок 1–2: 
мВб; 
А;
2) участок 2–3: 
мВб; 
А.
Составим описание аппроксимированной характеристики 
на каждом из участков, используя уравнение прямой, проходящей через две точки.
Участок 1–2 
:
= 
. (2)
Решая уравнение (2) относительно i 1, получим:
. (3)
Участок 2–3 
:
= 
,
откуда
. (4)
· Расчет переходного режима во временном интервале (0 £ t £ £ t 1). Подставив уравнение (3) в уравнение состояния (1) для участка характеристики 1–2, получим 
.
При 
установившиеся значения 
Вб, 
А.
Характеристическое уравнение имеет вид: 
.
Корень характеристического уравнения: 
(с–1).
Общее решение для искомого потокосцепления:
.
Определение постоянной интегрирования:
,
следовательно, 
Вб, и полное решение для потокосцепления в рассматриваемом временном интервале:
Вб. (5)
Из соотношения (3) с учетом (5) следует:
А. (6)
Момент времени t 1 перехода рабочей точки с участка 1–2 на участок 2–3 определяется из (6) с учетом того, что при 
Вб; 
(точка 2): 
, откуда 
мкС.
· Расчет переходного режима во временном интервале (t 1 £ t £ ¥). Подставив уравнение (4) в уравнение состояния (1) для участка характеристики 2–3, получим:
. (7)
Решение уравнения (7) проводится аналогично расчету на первом интервале:
с–1.
В силу непрерывности потокосцепления начальным условием для второго интервала является конечное значение на первом интервале, т.е. 
= 
Вб. При 
, следовательно, А2 = - 0,0035 и
. (8)
После подстановки (8) в (4) получим:
= 
А. (9)
Таким образом, искомое решение рассматриваемой задачи может быть представлено в виде:
= 
А при 
,
А при 
.
График зависимости построен на рис. г пунктирной линией 2.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 6
В цепи (см. рис. а к задаче 4) ключ замыкается. Кулонвольтная характеристика q (u c) приведена в таблице к задаче 4. Е =100 В; r 1 = r 2 = 20 Ом.
Определить и построить u c(t), приняв в качестве переменной состояния заряд q.
Ответ: пределы изменения q и u c: q Î [34; 46]·10–6 К,
u c Î [50; 100] В.
Задача 7
В цепи (рис. а к задаче 5) ключ размыкается. Характеристика 
задана в таблице к задаче 5. Величины ЭДС и всех резисторов приведены в условии задачи 5.
Ответ: пределы изменения ψ и i: ψ Î [20; 10] мВб;
i Î [0,6; 0,1] А.
Оглавление
| I. Классический метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами………………… II. Операторный метод расчета переходных процессов…...…………. III. Расчет переходных процессов при включении электрических цепей на напряжение произвольной формы (интеграл Дюамеля)…..…… IV.Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока……... V. Магнитные цепи постоянного тока. Цепи с постоянными магнитами…………………………………………………………………………… VI. Графический метод расчета нелинейных цепей переменного тока (по характеристикам для мгновенных значений)……………………… VII. Расчет нелинейных цепей с помощью аппроксимации характеристик нелинейных элементов для мгновенных значений………………. VIII. Расчет нелинейных электрических цепей с использованием замены реальных нелинейных элементов условно-нелинейными…..…….. IX. Длинные линии в установившемся режиме….…………………… X. Переходные процессы в длинных линиях…………………………. XI. Переходные процессы в нелинейных цепях………………………. |