Лекция 2
КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ БЕЗОТКАЗНОСТИ:
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
План лекции
1 Общие понятия
2 Основные сведения о математических моделях расчета в теории вероятностей
2.1 Общие понятия
Наиболее важные показатели надежности невосстанавливаемых объектов – показатели безотказности, к которым относятся:
· вероятность безотказной работы;
· плотность распределения отказов;
· интенсивность отказов;
· средняя наработка до отказа.
Показатели надежности представляются в двух формах (определениях):
Ø статистическая (выборочные оценки);
Ø вероятностная.
Статистические определения (выборочные оценки) показателей получаются по результатам испытаний на надежность.
Допустим, что в ходе испытаний какого-то числа однотипных объектов получено конечное число интересующего нас параметра – наработки до отказа. Полученные числа представляют собой выборку некоего объема из общей «генеральной совокупности», имеющей неограниченный объем данных о наработке до отказа объекта.
Количественные показатели, определенные для «генеральной совокупности», являются истинными (вероятностными) показателями, поскольку объективно характеризуют случайную величину – наработку до отказа.
Показатели, определенные для выборки, и, позволяющие сделать какие-то выводы о случайной величине, являются выборочными (статистическими) оценками. Очевидно, что при достаточно большом числе испытаний (большой выборке) оценки приближаются к вероятностным показателям.
Вероятностная форма представления показателей удобна при аналитических расчетах, а статистическая – при экспериментальном исследовании надежности.
Для обозначения статистических оценок будем использовать знак 
сверху.
Примем следующую схему испытаний для оценки надежности.
Пусть на испытания поставлено N одинаковых серийных объектов. Условия испытаний идентичны, а испытания каждого из объектов проводятся до его отказа.
Введем следующие обозначения:
– случайная величина наработки объекта до отказа;
– число объектов, работоспособных к моменту наработки t;
– число объектов, отказавших к моменту наработки t;
– число объектов, отказавших в интервале наработки 
;
– длительность интервала наработки.
Поскольку в дальнейшем определение выборочных оценок базируется на математических моделях теории вероятностей и математической статистики, то ниже приводятся основные (минимально необходимые) сведения из теории вероятностей.
С более подробным материалом из теории вероятностей студенты могут ознакомиться в Приложении: «Основные понятия и краткие сведения из теории вероятностей».
2.2 Основные сведения о математических моделях расчета в теории вероятностей
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.
Основные понятия теории множеств
Одним из основных понятий является – случайное событие.
Событием называется всякий факт (исход), который в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти.
Каждому из таких событий можно поставить в соответствие определенное число, называемое его вероятностью и являющееся мерой возможного совершения этого события.
Теория вероятностей основывается на аксиоматическом подходе и опирается на понятия теории множеств.
Множество – это любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества.
Предположим, что производится некоторый опыт (испытание), результат которого заранее неизвестен. Тогда множество W всех возможных исходов опыта представляет пространство элементарных событий, а каждый его элемент 
(отдельный исход опыта) является элементарным событием. Любой набор элементарных событий (любое их сочетание) считается подмножеством (частью) множества W и является случайным событием, т.е. любое событие А – это подмножество множества W: 
.
В общем случае, если множество W содержит n элементов, то в нем можно выделить 2 n подмножеств (событий).
Введем ряд определений.
Совместные (несовместные) события – такие события, появление одного из которых не исключает (исключает) возможности появления другого.
Зависимые (независимые) события – такие события, появление одного из которых влияет (не влияет) на появление другого события.
Противоположное событие относительно некоторого выбранного события А – событие, состоящее в не появлении этого выбранного события (обозначается 
).
Полная группа событий – такая совокупность событий, при которой в результате опыта должно произойти хотя бы одно из событий этой совокупности.
Аксиомы теории вероятностей
Вероятность события А обозначается P (A) или P { A }. Вероятность выбирают так, чтобы она удовлетворяла следующим условиям или аксиомам:
. (2.1)
. (2.2)
Если Ai и Aj несовместные события, т.е. 
, то
, (2.3)
где Ú – знак логического сложения событий,
Æ – пустое множество (отсутствие событий).
Аксиома (2.3) обобщается на любое число несовместных событий 
:
, (2.4)
Частотное определение вероятности любого события А:
, (2.5)
представляет отношение числа случаев (mA), благоприятных появлению события А, к общему числу случаев (возможному числу исходов опыта) n.
При неограниченном возрастании числа n наблюдается статистическое упорядочение, когда частота события А (выборочная оценка) все меньше изменяется и приближается к постоянному значению – вероятности события А.