При пересечении поверхности какого-либо геометрического объекта плоскостью получается плоская фигура, которую называют сечением.
Сечение поверхности плоскостью в общем случае представляет собой кривую, принадлежащую секущей плоскости. Если пересекается многогранник, что мы уже рассмотрели ранее, то в сечении получается замкнутый многоугольник, стороны которого отрезки прямых.
Определение проекций линии сечения следует начинать с построения опорных точек - точек расположенных на очерковых образующих (точек видимости), экстремальных точек (максимально и минимально удаленных от плоскостей проекций). После этого определяют произвольные точки линии сечения.
Если произвольные точки определяются с помощью одного и того же приема, то для нахождения опорных точек, как правило, приходится пользоваться различными способами.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример1. Построить проекции сечения поверхности вращения плоскостью S, перпендикулярной П2 (рис.11.1).
Построение проекций плоской фигуры, получающейся в сечении, является в данном случае не сложным, так как одна из ее проекций вырождается в отрезок прямой линии (А2В2 на П2), которая совпадает с соответствующей проекцией секущей плоскости (S2). Задача сводится таким образом, к построению другой проекции этой фигуры на П1.
Рис.11.1 |
Построение проекции начнем с построения опорных точек. Такими точками являются точки, расположенные на очерковых образующих. На П2 они обозначены проекциями А2,В2. Так как они находятся на главном меридиане, их проекции легко находятся на П1 с помощью линий связи. Опорными точками являются также точки 2,2¢, которые являются экстремальными точками, так как одна из них самая близкая, а другая самая удаленная (эти точки концы малой оси эллипса, который получится при пересечении данной поверхности вращения плоскостью). На П2 обозначим их проекции 22, 22¢ на середине отрезка А2В2, являющегося натуральной величиной большой оси эллипса. На П1 проекции 21,21¢ находим с помощью параллели h, которая получается при пересечении заданной поверхности плоскостью уровня Г, проведенной через точки 2,2¢. На П2 половина отрезка проекции параллели h2 является ее радиусом R. На П1 данным радиусом строим проекцию параллели h1, на которой получаем проекции 21,21¢. Произвольные проекции точек 1,1¢ и 3,3¢ также находим с помощью соответствующих параллелей h¢ и h¢¢, их проекций. Полученные на П1 проекции А1, 31, 21,11,В1,1¢1,2¢1,3¢1 соединяем плавной кривой. Таким образом будет построена горизонтальная проекция искомого сечения.
| Рис.11.2 |
Пример 2. Построить проекции сечения поверхности Ф прямого конуса вращения плоскостью общего положения q, заданной на П1 и П2 соответственно следами h0 и f0. Построить также натуру сечения (рис. 11.2).
Чтобы упростить решение задачи, осуществим замену плоскости П2 новой плоскостью П4. Плоскость П4 выберем так, чтобы по отношению к ней секущая плоскость q заняла проецирующее положение. Спроецируем на плоскость П4 коническую поверхность Ф. Выполненные преобразования позволили свести решение к случаю рассмотренному в примере 1 (рис.11.1).
Для построения фронтальной проекции эллипса сечения на рис. 11.2, кроме точек А,В, и С,Д, на вспомогательной проекции взяты точки Е,F и M,N. Горизонтальные и фронтальные проекции этих точек определены с помощью горизонталей h¢¢ и h¢¢¢. Кроме опорных точек А и В, являющихся высшей (В) и низшей (А) точками сечения, на рисунке показаны точки Р и L, принадлежащие фронтальным проекциям очерковых образующих конической поверхности Ф. Эти точки служат границей видимости для фронтальной проекции сечения. Для нахождения точек Р2 и L2 пользуемся фронталью f.
Для определения натуральной величины сечения также используем способ замены плоскостей проекций. Заменим П1 на П5 таким образом, чтобы секущая плоскость q в системе П4 - П5 заняла положение плоскости уровня (х2||q4). В соответствующем положении окажется и сечение, а его проекция на П5 и есть натуральная величина.