Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Ч А С Т И C ЕГЭ

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Ч А С Т Е Й А, В ЕГЭ

Задача № 1-4

Груз массой m = 45 кг перемещается по горизонтальной плоскости под действием силы F = 294 Н, направленной под углом α = 30^о к горизонту. Коэффициент трения груза о плоскость μ = 0,1. Определить ускорение а движения груза.

Дано: m = 45 кг, F = 294 Н, α = 30^о, μ = 0,1. Определить а -?

Рис. 1.4.

Рисуем рисунок, соответствующий условию задачи. На груз действуют: сила тяжести - mg,сила нормальной реакции плоскости - N, сила тяги - F, сила трения - F_тр. Вектор ускорения а направлен вдоль выбранного положительного направления оси ОХ. Запишем для данного тела уравнение второго закона Ньютона в векторной форме: mg + N + F + F_тр =mа (1).

Учитывая, что груз движется в горизонтальной плоскости, а это значит, что проекция вектора ускорения на ось ОY равна нулю (а_у = 0), запишем уравнение движения в проекциях на оси ОХ и ОY:

ОХ: Fcosα - F_тp= mа (2), ОY: N + Fsinα - mg = 0 (3).

Из уравнения (3) находим, что N = mg - Fsinα, следовательно, сила трения, действующая на груз будет F_тp = μN = μ(mg - Fsinα).

Подставляя выражение для F_тp в (2), получим:

F cos α - μ(mg - Fsinα) = mа, откуда

Задача № 1-15

На концах нити, переброшенной через блок, висят на одинаковой высоте две гири массой по m₁ = m₂ =100 г каждая. Если на одну из гирек положить перегрузок m = 10 г, то вся система придет в движение. Нить можно считать невесомой и нерастяжимой, массой блока пренебречь, трение в блоке не учитывать. Найти силу давления F перегрузка на гирьку при движении.

Дано: m₁= m₂ = 100 г = 0,1 кг, m = 10 г = 0,01 кг. Определить F -?

Для лучшего понимания условия задачи и выбора правильного подхода к решению задачи, нарисуем рисунок, на котором укажем все действующие на тела силы. Из условия невесомости и нерастяжимости нити следует, что сила натяжения нити на всех участках одинакова T₁ = Т₂ = Т и все грузы движутся с одним и тем же ускорением |а₁| = |a₂| = a.

Рис. 13.

Рассмотрим силы, действующие на каждый из грузов. На первый груз m₁ действуют: m_lg - сила тяжести, Т - сила натяжения нити, F - сила давления перегрузка. Запишем второй закон Ньютона для первого груза:

m₁g + T + F =m₁a (1).

На второй груз m₂ действуют: m₂g - сила тяжести, Т - сила натяжения нити.

Запишем второй закон Ньютона для второго груза:

m₂g + T = m₂a (2).

На перегрузок действуют: mg - сила тяжести; N - сила реакции опоры. Запишем второй закон Ньютона для перегрузка:

mg + N = mа (3).

Выбор системы координат является важным моментом, облегчающим последующее решение задачи. Оси системы желательно выбирать так, чтобы они по направлению совпадали с направлением вектора ускорения. Поэтому в этой задачи мы выбрали две координатные оси ОY₁ и ОY₂.

Проецируем уравнения (1) и (3) на ось OY₁ и уравнение (2) на ось OY₂, получим:

OY₁: m₁g + F - T = m₁а (4), OY₂: Т - m₂g = m₂а (5), OY₁: mg - N = mа (6).

Складывая уравнения (4), (5) и (6) и учитывая, что m_lg = m₂g = Mg, F = N, получаем

Mg + N - Т + Т - Mg + mg - N = Ма + Ма + mа, откуда а = mg/(2M + m).

Силу давления F перегрузка на груз m₁, которая по третьему закону Ньютона численно равна силе реакции N, определим из уравнения (6):

F = N = mg - mа =2mMg/(2M+m) = 9,3.10^-2 Н

Задача № 1-26

Средняя высота спутника над поверхностью Земли h = 1700 км. Определить его скорость и период вращения.

Дано: h = 1700 км = 1,7 10⁶ м, R = 6,4 10⁶ м. Определить V -? Т -?

Движение по круговой орбите происходит под действием только силы тяготения со стороны Земли

где M и m массы Земли и спутника, соответственно; R – радиус Земли.

Запишем для спутника уравнение второго закона Ньютона в скалярной форме относительно оси, направленной к центру Земли

F_т = mа_ц (2), где а_ц = V²/(R + h) – центростремительное ускорение спутника.

Подставляем выражения для силы и ускорения в уравнение (2), получаем

Умножаем числитель и знаменатель дроби в левой части уравнения (3) на R², проводим необходимые сокращения, получаем

Учитывая, что ускорение свободного падения у поверхности Земли g = GM/R², несколько преобразуем уравнение (4):

gR²/(R + h) = V², откуда получаем V = R√g/(R + h) = 7,0•10³ м/с.

Период вращения найдем разделив длину окружности орбиты спутника на скорость спутника

 

Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч Ч А С Т И C ЕГЭ

 

Задача № 2-5

Шар массой m, объемом V падает в жидкости плотностью ρ с постоянной скоростью U. С какой силой нужно тянуть вверх этот шар, чтобы он поднимался в той же жидкости со скоростью U₁ = 4 U? Сопротивление вязкой жидкости движению шара пропорционально его скорости.

Дано: m, ρ, U, U₁ = 4U, F_с = kU. Определить F -?

Рис. 5.

При падении шара в жидкости с постоянной скоростью U (рис.5, а) на шар действуют силы: mg- сила тяжести, направлена вертикально вниз, F_А – сила Архимеда (F_А= ρVg), направлена вертикально вверх, F_c1 - сила сопротивления жидкости (F_c1 = kU), направлена вертикально вверх. Так как шар движется с постоянной скоростью, то на основании первого закона Ньютона можно записать векторное уравнение mg + F_А +F_c1 = 0.

Спроецируем это уравнение на ось OY:

F_А – mg + F_c1 = 0 или ρVg – mg + kU = 0 ,

откуда получим выражение для коэффициента силы сопротивления k = (mg - ρVg)/U.

При подъеме шара вверх силой F в жидкости с постоянной скоростью U₁ = 4U (рис.5,б) на шар действуют силы: mg - сила тяжести, направлена вертикально вниз, F_А – сила Архимеда (F_А= ρVg), направлена вертикально вверх, F_c2 - сила сопротивления жидкости (F_c2= k4U), направлена вертикально вниз и тянущая вверх внешняя сила F.

Так как шар движется с постоянной скоростью 4U, то на основании первого закона Ньютона можно записать векторное уравнение

F + mg + F_А +F_c2 = 0.

Спроецируем это уравнение на ось OY:

F + F_А – mg - F_c2 = 0 или F + ρVg – mg - 4kU = 0 ,

откуда получим выражение для внешней тянущей силы

F = mg + 4kU – ρVg = mg + 4U(mg – ρVg)/U – ρVg = 5g(m – ρV).

Задача № 2-24.

На гладком горизонтальном столе лежит призма массы М с углом наклона α, а на ней призма массы m (рис. 21). На меньшую призму действует горизонтальная сила F при этом обе призмы движутся вдоль стола как одно целое (т. е. не изменяя взаимного расположения). Определить силу трения между призмами.

Дано: М, α, m, F. Определить F_тр -?

Рис. 21.

По условию задачи обе призмы как одно целое перемещаются по гладкому столу под действием внешней силы F, следовательно, ускорение призм направлено вдоль оси ОХ и, в соответствие со вторым законом Ньютона, оно равно: а = F/(М + m) (1).

При движении на меньшую призму действуют силы: mg - сила тяжести, N - сила нормальной реакции нижней призмы, F - внешняя сила, F_тр - сила трения покоя, возникающая при контакте призм.

Так как призма m под действием системы сил двигается с ускорением а, запишем для этой призмы уравнение второго закона Ньютона:

mg + N + F + F_тр = mа.

Спроецируемэто уравнение на оси OX и OY, получим:

OX: F - F_трcosα – Nsinα = ma (2), OY: Ncosα - F_трsinα – mg = 0 (3).

Из уравнения (3) выразим силу реакции

N = (mg + F_трsinα)/cosα = F_трtgα + mg/cosα

и подставим в уравнение (2): F - F_трcosα - F_трtgαsinα – mgtgα = mF/(m+M) (4).

Для упрощения полученного уравнения второй член уравнения (4) умножим и разделим на cosα и умножим левую и правую часть уравнения на знаменатель (m + M)

F m + F M - F_тр(m+M)cos²α/cosα - F_тр(m+M)sin²α/cosα - (m+M)mgtgα = mF (5).

Преобразуем это уравнение, учитывая, что третий и четвертый члены уравнения (5) в сумме дают простое выражение:

Подставляем этот результат в (5):

F M - F_тр(m+M)/cosα - (m+M) mg tgα = 0,

откудавыразим искомую силу трения: