Особенностью замкнутой системы СМО является, то, что длина очереди не ограничивается, так как обслуженные объекты снова могут попадать в систему в виде заявок. Примером такой СМО является зона текущего ремонта АТП, когда автомобиль не может уйти из системы без ремонта. Для замкнутых СМО m→ ∞. В связи с этим формула определения вероятности Р0 принимает вид
(5.20)
Сумма во втором слагаемом в знаменателе представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем
. (5.21)
Известно, что сумма геометрической прогрессии равна
(5.22)
Для установившегося режима (α = const, m→∞) система работает только при условии
, (5.23)
то есть когда суммарная пропускная способность всех каналов больше параметра потока заявок. Поэтому указанная сумма представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию и второе слагаемое равно нулю
→0 (5.24)
С учетом этого, вероятность Р0 определяется по формуле
(5.25)
При исследовании замкнутых систем решается задача оптимизации каналов обслуживания. Например оптимальным числом постов в зоне ТР будет то, при котором наступает минимум суммарных затрат на создание постов и убытков от простоя автомобилей в ремонте (рис. 5.5)
(5.26)
где mпк - среднее число простаивающих (незанятых каналов); M(S) - средняя длина очереди; акан - убытки от простоя канала обслуживания в единицу времени; аавт - убытки от простоя автомобиля (потеря прибыли) в единицу времени.
Рис. 5.5. Зависимость удельных затрат на содержание каналов обслуживания (
), убытков от простоя в ожидании обслуживания (
), и суммарных (
), от числа каналов в СМО.
Аналогично применяются оптимальные решения и в других областях, подчиняющихся законам систем массового обслуживания. Оптимизация СМО осуществляется и другими методами, в том числе и с помощью метода статистического моделирования.
Применение ТМО и метода статистического моделирования для определения оптимальных решений
Общие сведения
Метод статистического моделирования (метод Монте-Карло) заключается в воспроизведении исследуемого физического процесса при помощи вероятностной математической модели и вычислении характеристик этого процесса. Он основан на многократных испытаниях построенной модели с последующей статистической обработкой числовых данных для определения статистических оценок параметров процесса. Основой метода статистического моделирования является закон больших чисел.
Под законами больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в которых доказывается сходимость по вероятности статистических характеристик и некоторых постоянных чисел. Так одна из теорем П.Л. Чебышева формулируется так: «При неограниченном увеличении числа независимых испытаний п среднее арифметическое равноточных результатов наблюдений хi случайной величины х, имеющую конечную дисперсию Д [ х ], сходится по вероятности к математическому ожиданию М [ х ] этой случайной величины.
Теорема Бернулли формулируется так: «При неограниченном увеличении числа независимых испытаний в одних и тех же условиях частость Р(А) наступления события А сходится к его вероятности Р. Поэтому для определения вероятности какого либо события, например вероятности состояний СМО (Р0, Р1, …Рк) вычисляются частости 
для одной реализации, а затем для большого числа реализаций (п =1000). Результат усредняют и с некоторым приближением определяют искомые вероятности состояний системы, математическое ожидание числа занятых каналов, длины очереди и др.