Пример использования метода Ньютона для решения УУН

УЧЕТ КОМПЛЕКСНОГО ХАРАКТЕРА

ПАРАМЕТРОВ СХЕМЫЗАМЕЩЕНИЯ И РЕЖИМА [1]

Система уравнений узловых напряжений для цепи переменного тока:

. (9.7)

При решении на ЭВМ системы уравнений узловых напряжений для сети переменного тока, как правило, она приводится к системе действительных уравнений порядка , где - число узлов схемы. Для этого представляют матрицы и вектор - столбцы с комплексными элементами в виде сумм матриц и вектор - столбцов с действительными элементами (при этом надо в виде такой суммы представить каждый комплексный элемент и учесть правило сложения матриц):

(9.8)

Подставляя (9.8) в (9.7), получим:

(9.9)

Уравнение (9.9) переписываем, разделяя действительные и мнимые слагаемые.

. (9.10)

. (9.11)

Иными словами, систему уравнений узловых напряжений для цепи переменного тока можно записать в виде блочного матричного уравнения:

(9.12)

Выражение (9.12) является системой действительных уравнений порядка и содержит неизвестных действительных и мнимых составляющих узловых напряжений, представленных в форме действительных чисел.

ОПИСАНИЕ РАСЧЕТА УР С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Нелинейные уравнения установившегося режима в общей форме можно записать в виде системы неявных функций:

(9.53)

где - вектор-функция.

Эти уравнения связывают между собой параметры установившегося режима электрической системы. Часть параметров режима задана (независимые переменные ). Обозначим вектор-столбец независимых переменных при расчете установившегося режима . Остальные (зависимые переменные ) могут быть найдены из уравнений установившегося режима. Обозначим вектор-столбец зависимых переменных .

Число зависимых переменных равно числу уравнений установившегося режима. Это означает, что вектор-функция и вектор-столбец имеют одинаковую размерность. В зависимости от постановки задачи и способов задания исходных данных в состав векторов независимых и зависимых переменных и могут входить разные параметры режима.

Разделение параметров режима на зависимые и независимые переменные играет важную роль при оптимизации режимов, при определении предельных по статической апериодической устойчивости режимов и при исследовании существования и единственности решения уравнений установившегося режима.

При расчетах установившегося режима вектор независимых переменных задан, то есть , следовательно, нелинейную систему уравнений (9.53) можно переписать как

(9.54)

Число уравнений в этой системе также равно числу зависимых переменных , то есть равно размерности вектора . В результате решения уравнений УР можно найти все зависимые переменные .

МЕТОД НЬЮТОНА

Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений представляет собой обобщение на многомерный случай метода касательных, применяемого для решения одного нелинейного уравнения.

Идея метода Ньютона состоит в последовательной замене на каждой итерации системы нелинейных уравнений некоторой линейной системой, решение которой дает значения неизвестных, более близкие к решению нелинейной системы, чем исходное приближение. Поясним идею этого метода на примере решения уравнения

	(5.4)
Решение уравнения - точка, в которой кривая проходит через нуль (рисунок 5.1): Рисунок 5.1- Графическая иллюстрация метода Ньютона

Зададим начальное приближение к решению уравнения и вычислим значение функции . Если точка достаточно близка к решению, то для его получения целесообразно разложить функцию в ряд Тейлора в окрестностях точки :

(5.5)

Выражению (5.5) соответствует касательная к функции, проведенная в точке . Такая касательная показана на рисунке 5.1. Для малых значений приближение (5.5) хорошо моделирует саму функцию , поэтому в качестве приближенного решения исходного уравнения целесообразно использовать решение линеаризованного уравнения (5.5), равное

(5.6)

Полученную точку можно использовать в качестве нового приближения и сделать шаг, в результате которого будет найдено приближение и т. д. Итерационный процесс получения решения показан на рисунке 5.1.