Понятие линии второго порядка.

Всякая кривая второго порядка относительно декартовых координат задается уравнением:

, (1) Где a_ik – константы. Это уравнение задает окружность, эллипс, параболу или гиперболу в зависимости от соотношений между его коэффициентами. Например, если в уравнении: a₁₁= a₂₂ и a₁₂=0, то оно является уравнением окружности. Если уравнение (1) разлагается на два линейных множителя, то в этом случае оно определяет пару прямых, которые могут пересекаться, быть параллельными или совпадать. 2.Окружность и её уравнение. Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой фиксированной точки плоскости, называемой ее центром. Каноническое уравнение окружности имеет вид:

, (2) Где(a, b)– координаты центра, а R – радиус окружности. Пример 1. Найти центр и радиус окружности

. Решение. Выделяя полные квадраты по x и по y, приведем уравнение к виду

, откуда, сравнивая с (2), находим C(3; -1)и R = 6. Пример 2. Составить уравнение окружности, проходящей через три точки

Решение. Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных через середины хорд. Точка М₁(-1;2) – середина хорды АВ, а М₂(1;4) – середина АС и

. Уравнения перпендикуляров к хордам АВ и АС, проходящих через их середины, имеют вид:

или

. Точка пересечения этих прямых Р(-1;2). Для нахождения радиуса найдем расстояние между точками

. Запишем уравнение окружности:

. 3. Эллипс и его уравнение. Определение. Эллипсом называется геометрическое место всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная. Каноническое уравнение эллипса:

, (3)

Где а – большая полуось, в – малая полуось,

– эксцентриситет эллипса. Прямую, на которой расположены фокусы эллипса F₁ u F₂, называют фокальной осью, а

– фокальными радиусами. Прямые x=

называют директрисами эллипса. Пример 3. Убедитесь, что уравнение

определяет эллипс. Найдите полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис. Решение. Приведем уравнение

к каноническому виду

, откуда

. Из условия

найдем

, то есть

. Тогда

, а уравнение директрис x= (±25)/

. Пример 4. Доказать, что уравнение

определяет эллипс. Найти координаты его центра симметрии. Решение. Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты по

и по

. Обозначим

, где

– новые переменные. Тогда уравнение примет вид

или, приводя к каноническому виду,

. Сравнивая полученное уравнение с уравнением (3) убеждаемся, что кривая – эллипс. Центр его симметрии находится в точке (-2;2). 4. Гипербола и её уравнение. Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек и плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная. Каноническое уравнение гиперболы: , (4) Где . Точки , называются вершинами гиперболы, прямые являются асимптотами гиперболы, – действительная полуось, – мнимая полуось, – эксцентриситет гиперболы, прямые – ее директрисы. Пример 5. Написать уравнение гиперболы и ее асимптот, если фокусы гиперболы находятся в точках и длина вещественной оси равна 6. Решение. По условию , тогда из формулы найдем . Каноническое уравнение гиперболы: уравнения асимптот: . Пример 6. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку , асимптоты которой . Решение. Из уравнения асимптот следует, что . Уравнение гиперболы будем искать в виде . Так как точка лежит на гиперболе, то . Решая систему найдем , . Получаем или . Пример 7. Доказать, что уравнение определяет гиперболу. Написать уравнения ее асимптот. Решение. Выделим полные квадраты по и по : или . Обозначая и деля обе части уравнения на 9, получим каноническое уравнение , откуда следует, что , центр находится в точке то есть . Учитывая, что асимптоты проходят через точку и , запишем их уравнения: или . 5. Парабола и её уравнение. Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Каноническое уравнение параболы , (5) Где (параметр параболы) – расстояние между фокусом и директрисой, а уравнение ее директрисы . Так как уравнение параболы содержит , то она симметрична относительно оси . Ось симметрии параболы называется осью параболы. Вершиной параболы называется точка пересечения параболы с ее осью симметрии. Пример 8. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку и симметрична относительно оси . Написать ее каноническое уравнение. Решение. Подставляя координаты точки в уравнение (5), найдем, что . Значит, уравнение параболы . Пример 9. Доказать, что уравнение определяет параболу. Найти значение ее параметра и координаты вершины. Решение. Выделяя полный квадрат, получим . Если положить то уравнение примет вид . Сравнивая его с каноническим уравнением (22), находим , откуда . Вершина параболы находится в точке , , то есть . Для самостоятельного решения. 1. Найти координаты центра и радиус окружности Ответ: , . 2. Составить уравнение окружности, если она проходит через точки и , а центр ее лежит на прямой . Ответ: . 3. Найти площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса , а две другие совпадают с концами его малой оси. Ответ: 16. 4. Составить уравнение хорды параболы , которая проходит через ее вершину перпендикулярно прямой . Ответ: . 5. На параболе найти точку , ближайшую к прямой , и вычислить расстояние от точки до прямой. Ответ: . 6. Найти площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы и прямой . Ответ: 12. 7. Дана окружность . Найти уравнение радиусов, проведенных из центра в точки пересечения окружности с осью ординат, а также угол между этими радиусами. Ответ: .