Логарифмическая спираль в природе и технике.

Логарифмическая спираль - плоская кривая, описываемая точкой, движущейся по прямой, которая вращается около одной из своих точек (полюса) так, что логарифм расстояния движущейся точки от полюса изменяется пропорционально углу поворота.

Спираль эта имеет бесконечное множество витков и при раскручивании и при скручивании. Последнее означает, что она не проходит через свой полюс. Логарифмическую спираль еще называют равноугольной спиралью, потому что в любой ее точке угол между касательной и к ней и радиус – вектором сохраняет постоянное значение.

Логарифмическая спираль нередко используется в технических устройствах, а так же ее можно увидеть в окружающей нас природе.

Закручены по ней рога козлов и не найдете вы на них нигде узлов.
Моллюсков многих и улиток ракушки тоже все завиты.
И как сказал поэт великий Гете: “Вы совершеннее строенья не найдете!”
И эту спираль мы повсюду встречаем: к примеру, ножи в механизме вращая.
В изгибе трубы мы ее обнаружим – турбины тогда максимально послужат!
В подсолнухе семечки тоже закручены, и паука все плетенья заучены.

Ночные бабочки, ориентируясь ночью на пламя свечи, попадают в пламя по скучивающейся логарифмической спирали.

Самолет, вылетевший из какой-нибудь точки земного шара на север, через некоторое время окажется над Се­верным полюсом. Если же он полетит на восток, то, обле­тев параллель, вернется в тот же пункт, из которого выле­тел. Предположим теперь, что самолет будет лететь пере­секая все меридианы под одним и тем же углом, отлич­ным от прямого, т. е. держась все время одного и того же курса. Когда он облетит земной шар, то попадет в точку, имеющую ту же долготу, что и точка вылета, но располо­женную ближе к Северному полюсу. После следующего облета он окажется еще ближе к полюсу и, продолжая лететь указанным образом, будет описывать вокруг полю­са сужающуюся спираль.

Уравнение этой спирали r = ,

где r - расстояние от произвольной точки М на спирали до выбранной точки О, - угол между лучом ОМ и выб­ранным лучом Ох, а и k - постоянные.

Решая его, получим

ln e^kφ = ln kφ = ln φ = ln

Так как это уравнение связано с логарифмической фун­кцией, то вычисленную по этой формуле спираль называ­ют логарифмической.

В технике часто применяют вращающиеся ножи. Сила, с которой они давят на разрезаемый материал, зависит от угла резания, т.е. угла между лезвием ножа и направлением скорости вращения. Для постоянства давления нужно, чтобы угол резания сохранял постоянное значение, а это будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической спирали. Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала.

В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу,подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря такой форме трубы потери энергии на изменение и направление течения в трубе оказываются минимальными и напор воды используется с максимальной производительностью.

Пропорциональность длины дуги спирали радиус-вектору используют при проектировании зубчатых колёс с переменным передаточным числом. Для этого берут два квадрата, расположенных так, как показано на рисунке. И через середину и конец каждой стороны проводят дуги одинаковых логарифмических спиралей с полюсами в центрах квадратов, причём одна спираль закручивается по часовой стрелке, а другая –против часовой стрелки. Тогда при вращении этих квадратов дуги спиралей будут катиться одна по другой без скольжения. Передаточное же число, т.е. отношение угловых скоростей этих колёс, будет непрерывно меняться, достигая в течение одного оборота колеса четыре раза максимального значения и четыре раза минимального.

Живые существа обычно растут, сохраняя общее очер­тание своей формы. При этом они растут чаще всего во всех направлениях - взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытяги­ваться в длину, им приходится скручиваться, причем каж­дый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спи­раль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития.

Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины, в подсолнухе семечки распо­ложены по дугам, также близким к

логарифмической спи­рали, и т.д.

Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по ло­гарифмической спирали.

По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Задумывался кто-нибудь над вопросом, сколько звезд на небе?

Одним из первых, кто попытался точно ответить на этот вопрос, был древнегреческий астроном Гиппарх. При его жизни в созвездии Скорпиона вспыхнула новая звезда. Гиппарх был потрясен: звезды смертны. Гиппарх составил свой звездный каталог. Он насчитал около тысячи звезд и разбил их по видимому блеску на шесть групп. В наше время существуют чувствительные приборы для световых измерении – это дает возможность точно определить блеск звезд. Зависимость распределения звезд от блеска выражается логарифмической функцией.