Двойные и криволинейные интегралы

Экзаменационная программа по математическому анализу

1. Неопределенный интеграл

1. Первообразнаяфункции (определение); примеры. Теорема о разности двух первообразных(с доказательством).

2. Неопределенный интеграл (определение). Основные свойства неопределенного интеграла(с доказательством одного из свойств).

3. Таблица основных неопределенных интегралов. Вычисление предложенного интеграла на основе тождественных преобразований подынтегральной функции, позволяющих свести вычисление исходного интеграла к ряду табличных интегралов.

4. Теорема о замене переменной в неопределенном интеграле (формулировка теоремы); применение теоремыдля нахождения предложенного интеграла.

5. Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла (вывод формулы, примеры ее применения).

Определенный интеграл и его приложения

6. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический смысл определенного интеграла.Достаточное условие существования определенного интеграла (без доказательства).

7. Свойство линейности и свойство аддитивности определенного интеграла (с доказательством одного из свойств).

8. Теорема об интегрировании неравенства; теорема об оценке определенного интеграла; теорема о среднем значении для определенного интеграла (с доказательством и геометрической интерпретацией одной из теорем).

9. Определенный интеграл с переменным верхним пределом (определение). Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу (с доказательством).

10. Формула Ньютона - Лейбница для определенного интеграла (с доказательством); примеры ее применения.

11. Теорема о замене переменной в определенном интеграле (формулировка теоремы); применение теоремы для нахождения предложенного интеграла.

12. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле (формулировка теоремы и ее применение для решения предложенной задачи).

1. Полярная система координат. Связь координат точки в декартовой и полярной системе координат. Примеры уравнений кривых в полярной системе координат.

14. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла в декартовой и полярной системе координат (формулы); применение формул для решения предложенной задачи.

15. Вычисление длин дуг кривых с помощью определенного интеграла в декартовой и полярной системе координат (формулы); применение формул для решения предложенной задачи.

16. Вычисление объемов тел вращения в декартовой системе координат с помощью определенного интеграла (формулы); применение формул для решения предложенной задачи.

1. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода (определения); обобщенная формула Ньютона-Лейбница для их вычисления. Вычисление предложенного несобственного интеграла.

Двойные и криволинейные интегралы

18. Двойной интеграл: определение, основные свойства и геометрический смысл. Два основных вида стандартных областей интегрирования. Сведение двойного интеграла к повторному интегралу. Вычисление предложенного двойного интеграла.

19. Двойной интеграл в полярной системе координат (формула); вычисление предложенного интеграла в полярной системе координат).

20. Криволинейный интеграл 1-го рода: определение, основные свойства, формулы для его вычисления для случаев явного и параметрического задания плоской кривой. Применение формул для решения предложенной задачи.

21. Криволинейный интеграл 2-го рода: определение, основные свойства, формулы для его вычисления для случаев явного и параметрического задания плоской кривой. Применение формул для решения предложенной задачи.

22. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования; методы вычисления таких интегралов. Вычисление предложенного криволинейного интеграла 2-го рода.

23. Формула Грина. Применение формулы для вычисления предложенного криволинейного интеграла.

4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

24. Обыкновенные дифференциальные уравнения (основные понятия). Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка; общее, частное и особое решения (определения). Формулировка задачи Коши. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши (формулировка).

25. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Метод их решения и его применение для решения предложенного уравнения.

26. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод их решения и его применение для решения предложенного уравнения.

27. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка; линейные однородные и неоднородные уравнения (определения). Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения (формулировка). Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной для нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения; применение метода для решения предложенного уравнения.

28. Обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка; общее и частное решения (определения). Формулировка задачи Коши. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши (формулировка).

29. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Понятие линейной зависимости и независимости системы функций. Определитель Вронского для пары функций; теорема о связи определителя Вронского и линейной зависимости (независимости) пары функций (с доказательством). Примеры пар линейно независимых функций.

30. Теорема об определителе Вронского для пары линейно независимых решений однородного дифференциального уравнения 2-го порядка (с доказательством).

31. Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка (с доказательством).

32. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка (формулировка).

33. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Формула для общего решения уравнения в случае действительных различных корней характеристического уравнения и ее вывод.

34. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Формула для общего решения в случае действительных равных корней характеристического уравнения и ее вывод.

35. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Формула для общего решения в случае комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения и ее вывод.

36. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида f(x)=P(x)e^ax, где P(x)- многочлен; метод нахождения их частного и общего решения; применение метода для решения предложенного уравнения.

37. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида f(x)=e^ax(Acoskx+Bsinkx); методнахождение их частного и общего решения; применение метода для решения предложенного уравнения.

38. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с произвольными коэффициентами. Нахождение общего решения методом Лагранжа вариации произвольных постоянных; применение метода для решения предложенного уравнения.

39. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка (n >2). Однородные и неоднородные уравнения. Общее решение, задача Коши. Понятие линейной зависимости (независимости) системы n функций. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения (формулировка). Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения (формулировка).

40. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка (n >2) с постоянными коэффициентами.

Метод нахождения общего решения однородного уравнения вышеуказанного вида; применение метода для решения предложенного уравнения.

41. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка; нормальные, линейные,

однородные, неоднородные системы. Метод решения систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами (для системы из 2-х уравнений); применение метода для решения предложенной задачи.