Равносильные преобразования неравенств

Равносильные неравенства, определение, примеры

Начнем, естественно, с определения равносильных неравенств:

Определение.

Неравенства, которые имеют одни и те же решения, называются равносильными неравенствами. В частности, неравенства, не имеющие решений, также называют равносильными.

Другими словами, два неравенства равносильны, если они оба не имеют решений, а если они имеют решения, то каждое отдельно взятое решение первого из них является решением и второго, а каждое отдельно взятое решение второго является решением первого неравенства. Также ни одно из равносильных неравенств не может иметь решений, которые не являются решениями всех других из этих неравенств.

Для пояснения данного определения приведем пример трех равносильных неравенств: x>2, 2·x:2>2 и x>3−1. Действительно, множества их решений одинаковые, решение каждого из них есть числовой промежуток (2, +∞). Неравенства x⁶≥−2 и |x+7|<0 также являются равносильными, так как ни первое, ни второе из них не имеет действительных решений. А вот неравенства x>3 и x≥3 не равносильные, так как x=3 является решением второго из них, но не является решением первого. Аналогично, x>−5 и – не равносильные неравенства, так как x=0 является решением первого неравенства, но не является решением второго.

Заметим, что озвученное выше определение относится как к неравенствам с одной переменной, так и к неравенствам с двумя, тремя и любым другим конечным числом переменных. Например, неравенства с тремя переменными 2·x²+4·y²+16·z²<−1 и 2·x²+4·y²+16·z²<−3 равносильны: они оба не имеют решений. А неравенства с двумя переменными x+y<5 и x²−y>1 не равносильны, так как, к примеру, пара значений x=1, y=2 есть частное решение первого неравенства (так как 1+2<5 – верное числовое неравенство), но она не является решением второго неравенства (так как 1²−2>1 – неверное числовое неравенство).

Равносильные преобразования неравенств

Выполнение некоторых действий с правой и/или левой частью неравенства или с их отдельными слагаемыми может давать новые неравенства, имеющие те же решения, что и исходное неравенство. Замену исходного неравенства на новое равносильное ему неравенство при помощи таких действий назвали равносильным преобразованиям неравенства.

Определение.

Равносильное преобразование неравенства – это его замена другим равносильным ему неравенством, то есть, неравенством, имеющим то же множество решений. Сами преобразования, приводящие к равносильному неравенству, также называют равносильными преобразованиями.

Возникает логичный вопрос: «Зачем вообще нужны эти равносильные преобразования неравенств»? Например, они позволяют решать неравенства: с их помощью от решения исходного неравенства можно перейти к решению более простого, но равносильного неравенства.

Теперь можно перейти к знакомству с основными и наиболее часто используемыми равносильными преобразованиями неравенств, которые иногда называют свойствами неравенств. Им стоит уделить должное внимание – без их использования не обходится решение почти ни одного неравенства.

Заметим, что они похожи на равносильные преобразования уравнений. Принцип их доказательства тоже аналогичен, только здесь в основе доказательства будут лежать, естественно, свойства числовых неравенств, а не свойства числовых равенств.

Итак, приступим.

· Замена выражения в левой и/или правой части неравенства тождественно равным выражением на области допустимых значений (ОДЗ) переменных исходного неравенства является равносильным преобразованием неравенства.

Приведем доказательство озвученного утверждения для неравенства с одной переменной вида A(x)<B(x), где A(x) и B(x) – некоторые выражения с переменной x (аналогичные рассуждения можно провести и для неравенства с несколькими переменными и с любыми другими знаками неравенств, как строгих, так и нестрогих).

Пусть выражение C(x) тождественно равно выражению A(x), а выражение D(x) тождественно равно выражению B(x) на ОДЗ исходного неравенства. Докажем, что неравенство C(x)<D(x) равносильно неравенству A(x)<B(x). Для этого нужно показать, что любое решение q исходного неравенства A(x)<B(x) является решением неравенства C(x)<D(x), а любое решение неравенства C(x)<D(x) является решением неравенства A(x)<B(x). Сделаем это.

Так как q – решение неравенства A(x)<B(x), то справедливо числовое неравенство A(q)<B(q), которое получается при подстановке вместо переменной x ее значения q, откуда по разностному определению неравенства заключаем, что A(q)−B(q)<0. Выражение A(q)−B(q) можно представить как A(q)+(C(q)−C(q))−B(q)+(D(q)−D(q)), что то же самое, (A(q)−C(q))+C(q)−(B(q)−D(q))−D(q). Но так как выражения A(x) и C(x), а также B(x) и D(x) по условию тождественно равны, то A(q)=C(q) и B(q)=D(q), откуда A(q)−C(q)=0 и B(q)−D(q)=0. Следовательно, (A(q)−C(q))+C(q)−(B(q)−D(q))−D(q)=0+C(q)−0−D(q)=C(q)−D(q). Так мы показали, что значение выражения A(q)−B(q) равно значению выражения C(q)−D(q), а так как A(q)−B(q)<0, то и C(q)−D(q)<0, откуда заключаем, что C(q)<D(q). А последнее неравенство означает, что q – решение неравенства C(x)<D(x).

Аналогично доказывается, что любое решение неравенства C(x)<D(x) является решением неравенства A(x)<B(x), а вместе с этим будет доказано и все утверждение.

Что же означает доказанное утверждение? На его основе можно выполнять тождественные преобразования выражений, находящихся по разные стороны от знака неравенства, но при условии, что эти преобразования не сужают ОДЗ исходного неравенства, и в результате будет получено равносильное неравенство.

Приведем пример применения разобранного равносильного преобразования неравенств. Возьмем неравенство x>2+6. Сумму в его правой части мы можем заменить ее значением, что даст нам равносильное неравенство вида x>8. Еще пример: в левой и правой части неравенства 3·(x+1)−2·x+11≤2·y+3·(y+1)+x можно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, что дает неравенство x+14≤5·y+3+x, такое преобразование данного неравенства является равносильным. Действительно, в этом случае мы заменили левую часть исходного неравенства тождественно равным ей выражением x+14, а правую часть – тождественно равным ей выражением 5·y+3+x на области допустимых значений переменных x и y исходного неравенства.

Отдельно подчеркнем важность учета ОДЗ при замене частей неравенства тождественно равными им выражениями: если ОДЗ полученного неравенства будет отличаться от ОДЗ исходного неравенства, то это неравенство может быть не равносильно исходному. Этот момент критически важен, он может приводить к неверным ответам при решении неравенств. Не менее важен и момент, касающийся замены на именно тождественно равное выражение. На этих нюансах мы будем заострять внимание при каждом удобном случае в статьях по схожей тематике, и к ним мы еще вернемся в последнем пункте этой статьи. А сейчас переходим к следующему равносильному преобразованию неравенств.

· Прибавление (или вычитание) из обеих частей неравенства одного и того же числа является равносильным преобразованием.

Обоснуем этот факт. Пусть есть неравенство A(x)<B(x) и некоторое число c. Покажем, что ему равносильно неравенство A(x)+c<B(x)+c, полученное из исходного прибавлением к его обеим частям числа c. Для этого покажем, что любое решение q исходного неравенства является решением неравенства A(x)+c<B(x)+c, а любое решение второго неравенства является решением исходного.

Если q – решение неравенства A(x)<B(x), то справедливо числовое неравенство A(q)<B(q). Изучая свойства числовых неравенств, мы узнали, что к обеим частям верного числового неравенства можно прибавить любое число. Так что прибавим число c к обеим частям последнего неравенства, имеем A(q)+c<B(q)+c, а оно означает, что число q является решением неравенства A(x)+c<B(x)+c.

Аналогично доказывается, что любое решение неравенства A(x)+c<B(x)+c является и решением неравенства A(x)<B(x). Так если q - решение неравенства A(x)+c<B(x)+c, то A(q)+c<B(q)+c, из обеих частей полученного числового неравенства мы можем вычесть число c, получаем A(q)<B(q), откуда q – решение неравенства A(x)<B(x).

Итак, неравенства A(x)<B(x) и A(x)+c<B(x)+c равносильные. Для конкретности приведем пример: x>2 и x−5>2−5 – это равносильные неравенства, а с учетом предыдущего утверждения им равносильно и неравенство x−5>−3.

· Только что доказанное свойство можно обобщить: если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же выражение, не приводящее к изменению ОДЗ исходного неравенства, то получится равносильное неравенство.

Например, замена неравенства x<7 неравенством x+(12·x−1)<7+(12·x−1) является равносильным преобразованием.

· Из уже изученных равносильных преобразований неравенств следует еще одно, которое используется чаще двух предыдущих: перенос любого слагаемого из одной части неравенства в другую с противоположным знаком является равносильным преобразованием.

К примеру, оно позволяет от неравенства 3·x−5·y>12 перейти к равносильному неравенству 3·x>12+5·y.

· Умножение (или деление) обеих частей неравенства на одно и то же положительное число есть равносильное преобразование неравенства. И если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный (< на >, > на <, ≤ на ≥, а ≥ на ≤), то получится равносильное неравенство.

Начнем с доказательства первой части. Пусть перед нами неравенство A(x)<B(x) и c – положительное число. Докажем, что A(x)<B(x) и A(x)·c<B(x)·c - равносильные неравенства. Пусть q – решение исходного неравенства, тогда имеет место числовое неравенство A(q)<B(q). Из свойств числовых неравенств мы знаем, что умножение обеих частей верного числового неравенства на положительное число дает верное числовое неравенство. Умножим последнее неравенство на число c, имеем A(q)·c<B(q)·c, а это означает, что q является решением неравенства A(x)·c<B(x)·c. Теперь обратно: пусть q – решение неравенства A(x)·c<B(x)·c, тогда A(q)·c<B(q)·c. Разделив обе части этого числового неравенства на положительное число c, что нам позволяет делать одно из свойств числовых неравенств, получаем верное числовое неравенство A(q)<B(q), откуда заключаем, что q является решением неравенства A(x)<B(x). Этим доказано, что для положительного числа c неравенства A(x)<B(x) и A(x)·c<B(x)·c равносильны.

Аналогично доказывается и вторая часть. Здесь при доказательстве нужно учитывать свойство умножения и деления числовых неравенств на отрицательное число, не забывая изменять знак неравенства на противоположный.

Приведем примеры. Если обе части неравенства 2·x≤5 умножить на положительное число 3, то это приведет к равносильному неравенству вида 3·2·x≤3·5, и дальше к 6·x≤15. Другой пример: деление обеих частей неравенства на отрицательное число −2/3 вместе со сменой знака неравенства дает неравенство , равносильное данному.

Обобщим и это свойство неравенств:

o если обе части неравенства умножить на одно и то же выражение, положительное при всех значениях переменных из ОДЗ исходного неравенства и не приводящее к изменению этой ОДЗ, то получится равносильное неравенство.

o если же обе части неравенства умножить на одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях переменных из ОДЗ исходного неравенства и не приводящее к изменению этой ОДЗ, а также изменить его знак на противоположный, то получится равносильное неравенство.

В качестве примера приведем равносильные неравенства x>1 и x·(x²+1)>1·(x²+1), второе из них можно получить из первого, умножив обе его части на положительное на всей области допустимых значений выражение x²+1. А если обе части неравенства 5≥2·x−1 умножить на отрицательное на всей ОДЗ выражение −|x|−1, где |x| - модуль x, и изменить знак неравенства, то получится равносильное неравенство вида (−|x|−1)·5≤(−|x|−1)·(2·x−1).

Существуют и другие равносильные преобразования неравенств, но они уже не столь общи и относятся к конкретному виду неравенств, например, к логарифмическим неравенствам. С ними мы детально познакомимся, когда будем говорить о решении неравенств этих видов.