Производные и дифференциалы высших порядков




Производная и ее приложения

Понятие производной

Пусть функция y = f (x) определена на множестве X. Выберем произвольную точку x Î X и придадим значению x приращение Δ x, тогда функция y = f (x) получит приращение Δ y=f (xx)– f (x), определяемое как разность наращенного и исходного значений функции. Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении его к нулю (если этот предел существует), т.е. y '= . Различные обозначения производной: y '; (x); . Кроме того, иногда в качестве нижнего индекса указывается аргумент, по которому берется производная: y ' x; x (x).

С геометрической точки зрения производная функции y = f (x) в точке x 0 есть тангенс угла наклона касательной к графику функции в этой точке.т.е. f (x 0)=tg α= k.

С механической точки зрения производная пути материальной точки по времени в точке t 0 есть ее скорость в этот момент времени, т.е. v (t 0)= S '(t 0).

Если функция y = f (x) имеет в точке x конечную производную, то она называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Справедлива теорема о связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции: если функция y = f (x) дифференцируема в точке x 0, то она непрерывна в этой точке. Обратное, вообще говоря, неверно.

Замечание Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет на некотором промежутке X непрерывную производную, то функцию называют гладкой на этом промежутке. Если производная функции на промежутке допускает конечное число разрывов первого рода, то функцию называют кусочно-гладкой.

Вычисление производной

Вычисление производной функции y = f (x) может быть выполнено по определению. Для этого:

  • задаем приращение аргумента Δ x и вычисляем соответствующее ему значение функции f (xx);
  • вычисляем приращение функции Δ y=f (xx)– f (x);
  • составляем отношение приращения функции к приращению аргумента Δ yx;
  • находим предел этого отношения при Δ x →0, т.е. Δ yx = y '.

Производная обладает следующими свойствами, которые удобно использовать для ее вычисления. Пусть C – константа, u = u (x) и v = v (x) – дифференцируемые функции аргумента x.

  Производная константы равна нулю C '=0
  Производная аргумента равна единице x '=1
  Производная алгебраической суммы конечного числа функций равна алгебраической сумме производных этих функций (u ± v)' =uv '

 

  Производная произведения конечного числа дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждой из них на все остальные (u · v · z)' =uv · z + u · vz + u · v · z '
Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первой из них на вторую и производной второй из них на первую (u · v)' =uv + u · v '
Постоянный множитель можно выносить за знак производной (C · u)' =C · u '
  Производная частного двух дифференцируемых функций определяется по формуле
  Пусть y = f (u), u = φ (x), тогда y = f (φ (x)) – сложная функция. Если y = f (u), u = φ (x) – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и определяется по формуле (f (φ (x)))'= f '(φ (x))· φ '(x)

 

Производные основных элементарных функций приведены в таблице.

Таблица – Производные основных элементарных функций

Функция Производная Функция Производная
  C     cos x –sin x
  xn n · xn–1   tg x 1/cos2 x
  ex ex   ctg x –1/sin2 x
  ax ax ·ln a   arcsin x , | x |<1
  ln x 1/ x   arccos x , | x |<1
  loga x   arctg x
  sin x cos x   arcctg x

Замечание Если функция задана неявно уравнением F (x, y)=0, то для нахождения производной необходимо продифференцировать обе части уравнения по x, рассматривая y как функцию x, и выразить из полученного уравнения y '. Например, если x 2+ y 2=2, то по правилам нахождения производной (x 2+ y 2)'=2', откуда 2 x +2 y · y '=0 и y '=–2 x /2 y.

Дифференциал функции

Пусть функция y = f (x) определена на промежутке X и дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0.Тогда в этой точке существует конечная производная y '= . На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций = y '+α(Δ x) при Δ x →0, откуда Δ y=y '·Δ x +α(Δ x) Δ x, где α(Δ x) – бесконечно малая величина при Δ x →0.

Дифференциалом функции y = f (x) dy называется линейная относительно Δ x часть приращения функции, равная произведению ее производной y ' на приращение независимой переменной Δ x, т.е. dy = y '·Δ x. При этом для функции y = x dy = dx = x '·Δ x =1·Δ xx, т.е dxx Тогда выражение для дифференциала в общем виде перепишется как dy = ydx = f '(xdx.

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной. Пусть C – константа, u = u (x) и v = v (x) – дифференцируемые функции аргумента x. Тогда

1 dC =0

2 d (C · u)= C · du

3 d (u ± v) =du ± dv

4 d (u · v) = v · du + u ·d v

5

6 Инвариантность формы дифференциала. Пусть y = f (u), u = φ (x), тогда dy = f '(φ (x))· φ '(x) dx.

Производные и дифференциалы высших порядков

Поскольку производная f '(x) сама является функцией, то она так же может иметь производную. Тогда производной n -го порядка называют производную от производной
(n –1)-го порядка. Таким образом, f ''(x) – производная II порядка; f'''(x) – производная III порядка, … f ( n )(x) – производная n -го порядка.

С механической точки зрения вторая производная пути материальной точки по времени ест ее ускорение.

Для дифференцируемой функции y = f (x) ее дифференциал имеет вид dy = f '(xdx.

Тогда дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции y = f (x) называется дифференциал от ее дифференциала первого порядка, т.е. d 2 y = d (dy)= d (f '(xdx)=dx · d (f '(x))= dx · f ''(xdx = f ''(xdx 2.

Аналогично дифференциалом n -го порядка (или n -ым дифференциалом) y = f (x) называется дифференциал от ее дифференциала (n –1)-го порядка, т.е. dny = d (dn 1 y)= f ( n )(xdxn.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-04-14 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: