Производные и дифференциалы высших порядков

Производная и ее приложения

Понятие производной

Пусть функция y = f (x) определена на множестве X. Выберем произвольную точку x Î X и придадим значению x приращение Δ x, тогда функция y = f (x) получит приращение Δ y=f (x +Δ x)– f (x), определяемое как разность наращенного и исходного значений функции. Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении его к нулю (если этот предел существует), т.е. y '= . Различные обозначения производной: y '; (x); . Кроме того, иногда в качестве нижнего индекса указывается аргумент, по которому берется производная: y ' _x; _x (x).

С геометрической точки зрения производная функции y = f (x) в точке x ₀ есть тангенс угла наклона касательной к графику функции в этой точке.т.е. f (x ₀)=tg α= k.

С механической точки зрения производная пути материальной точки по времени в точке t ₀ есть ее скорость в этот момент времени, т.е. v (t ₀)= S '(t ₀).

Если функция y = f (x) имеет в точке x конечную производную, то она называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Справедлива теорема о связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции: если функция y = f (x) дифференцируема в точке x ₀, то она непрерывна в этой точке. Обратное, вообще говоря, неверно.

Замечание Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет на некотором промежутке X непрерывную производную, то функцию называют гладкой на этом промежутке. Если производная функции на промежутке допускает конечное число разрывов первого рода, то функцию называют кусочно-гладкой.

Вычисление производной

Вычисление производной функции y = f (x) может быть выполнено по определению. Для этого:

• задаем приращение аргумента Δ x и вычисляем соответствующее ему значение функции f (x +Δ x);
• вычисляем приращение функции Δ y=f (x +Δ x)– f (x);
• составляем отношение приращения функции к приращению аргумента Δ y /Δ x;
• находим предел этого отношения при Δ x →0, т.е. Δ y /Δ x = y '.

Производная обладает следующими свойствами, которые удобно использовать для ее вычисления. Пусть C – константа, u = u (x) и v = v (x) – дифференцируемые функции аргумента x.

	Производная произведения конечного числа дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждой из них на все остальные	(u · v · z)' =u '· v · z + u · v '· z + u · v · z '
4а	Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первой из них на вторую и производной второй из них на первую	(u · v)' =u '· v + u · v '
4б	Постоянный множитель можно выносить за знак производной	(C · u)' =C · u '
	Производная частного двух дифференцируемых функций определяется по формуле
	Пусть y = f (u), u = φ (x), тогда y = f (φ (x)) – сложная функция. Если y = f (u), u = φ (x) – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и определяется по формуле	(f (φ (x)))'= f '(φ (x))· φ '(x)

Производные основных элементарных функций приведены в таблице.

Таблица – Производные основных элементарных функций

№	Функция	Производная	№	Функция	Производная
	C			cos x	–sin x
	xn	n · xn–1		tg x	1/cos2 x
	ex	ex		ctg x	–1/sin2 x
	ax	ax ·ln a		arcsin x	, | x |<1
	ln x	1/ x		arccos x	, | x |<1
	loga x			arctg x
	sin x	cos x		arcctg x

Замечание Если функция задана неявно уравнением F (x, y)=0, то для нахождения производной необходимо продифференцировать обе части уравнения по x, рассматривая y как функцию x, и выразить из полученного уравнения y '. Например, если x ²+ y ²=2, то по правилам нахождения производной (x ²+ y ²)'=2', откуда 2 x +2 y · y '=0 и y '=–2 x /2 y.

Дифференциал функции

Пусть функция y = f (x) определена на промежутке X и дифференцируема в некоторой окрестности точки x ₀.Тогда в этой точке существует конечная производная y '= . На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций = y '+α(Δ x) при Δ x →0, откуда Δ y=y '·Δ x +α(Δ x) Δ x, где α(Δ x) – бесконечно малая величина при Δ x →0.

Дифференциалом функции y = f (x) dy называется линейная относительно Δ x часть приращения функции, равная произведению ее производной y ' на приращение независимой переменной Δ x, т.е. dy = y '·Δ x. При этом для функции y = x dy = dx = x '·Δ x =1·Δ x =Δ x, т.е dx =Δ x Тогда выражение для дифференциала в общем виде перепишется как dy = y '· dx = f '(x)· dx.

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной. Пусть C – константа, u = u (x) и v = v (x) – дифференцируемые функции аргумента x. Тогда

1 dC =0

2 d (C · u)= C · du

3 d (u ± v) =du ± dv

4 d (u · v) = v · du + u ·d v

5

6 Инвариантность формы дифференциала. Пусть y = f (u), u = φ (x), тогда dy = f '(φ (x))· φ '(x) dx.

Производные и дифференциалы высших порядков

Поскольку производная f '(x) сама является функцией, то она так же может иметь производную. Тогда производной n -го порядка называют производную от производной
(n –1)-го порядка. Таким образом, f ''(x) – производная II порядка; f'''(x) – производная III порядка, … f ^{( n )}(x) – производная n -го порядка.

С механической точки зрения вторая производная пути материальной точки по времени ест ее ускорение.

Для дифференцируемой функции y = f (x) ее дифференциал имеет вид dy = f '(x)· dx.

Тогда дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции y = f (x) называется дифференциал от ее дифференциала первого порядка, т.е. d ² y = d (dy)= d (f '(x)· dx)=dx · d (f '(x))= dx · f ''(x)· dx = f ''(x)· dx ².

Аналогично дифференциалом n -го порядка (или n -ым дифференциалом) y = f (x) называется дифференциал от ее дифференциала (n –1)-го порядка, т.е. dⁿy = d (d^{n – 1} y)= f ^{( n )}(x)· dxⁿ.