Задачи для контрольной работы №1.




ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания и контрольная работа №1

Для студентов Гродненского филиала кафедры «информационные системы и технологии»

МИДО БНТУ

специальность

«Экономика и управление на предприятии»

 

Решение типового варианта.

 

Задача 1. По координатам вершин : А(4;4), В(-6;-1), С(-2;-4) найти:

а) длину стороны АВ;

б) уравнение и длину высоты СD;

в) уравнение медианы АМ;

г) точку пересечения высоты СD и медианы АМ.

Решение.

Если , то

а) .

 

б)Уравнение прямой АВ имеет вид: , т.е. ,

- уравнение прямой АВ. Тогда уравнение высоты СD можно записать как уравнение прямой, проходящей через точку С и перпендикулярной к прямой АВ, имеющей нормальный вектор , который для этой прямой будет направляющим . Поэтому СD: ,

, - уравнение высоты СD.

Найдем точку D как точку пересечения прямых СD и АВ: D(-4;0).

в) Поскольку медиана делит сторону ВС пополам, то из формул середины отрезка , находим координаты точки М(-4;-2,5), где .

Уравнение прямой АМ примет вид: , т.е. , , или - уравнение медианы АМ.

 

г) Точку пересечения высоты CD и медианы АМ находим, решая систему

 

Значит, точка пересечения О .

 

 

Задача 2.Даны координаты вершин пирамидыABCS: А(4;2;5), В(0;7;2), С(0;2;7), S(1;5;0).

Найти:

а) уравнение плоскости АВС;

б) уравнение прямой АВ;

в) уравнение прямой SN, перпендикулярной к плоскости АВС;

г) косинус угла между плоскостями АВС и ВСS ;

д) объем пирамиды АВСS;

е) уравнение прямой SD параллельной прямой АВ;

ж) площадь грани АВС.

Решение.

а) Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки имеет вид:

 

, в нашем случае .

 

Отсюда находим , или .

 

б) Уравнение прямой АВ, как прямой, проходящей через две точки и , примет вид:

, а в нашем случае .

 

в) Уравнение высоты SN, опущенной из вершины S на плоскость АВС можно записать как уравнение прямой, проходящей через точку S и перпендикулярной плоскости АВС, имеющей нормальный вектор , который для этой прямой будет направляющим

- искомое уравнение высоты SN.

 

г) Найдем уравнение плоскости ВСS:

 

, т.е. ,

следовательно - уравнение плоскости ВСS.

Косинус угла между плоскостями и найдем по формуле

, отсюда

, .

 

 

д) Объем пирамиды с вершинами находится по формуле . В нашем случае

 

 

е) Т.к. прямая SD параллельна АВ, то направляющие векторы этих прямых совпадают . Составим уравнение прямой SD, проходящий через точку S(1,5,0):

 

ж) Площадь грани ABC вычислим по формуле .

,

.

 

Задача 3А.Вычислить определитель .

 

Решение 1.Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Существует правило треугольника, облегчающее составление выражения, стоящего в правой части данной формулы:

Правило треугольника

по правилу треугольников получаем

 

Решение 2.Применим теорему Лапласа ко второй строке: .

Задача 3Б.Вычислить определитель .

 

Решение.Теорема Лапласа позволяет свести вычисление определителя n -го порядка к вычислению n определителей порядка n-1. Если в строке (столбце) имеются равные нулю элементы, то удобнее всего разлагать определитель по элементам той строки (столбца), которая содержит наибольшее число нулей.

Разложим определитель по третьему столбцу:

 

 

Задача 4А. Методом Гаусса решить систему уравнений

Решение.Запишем расширенную матрицу и методом Гаусса приведём её к трапецеидальному виду:

˜ ˜

Эквивалентная матрица получена сложением первой строки, умноженной на -3 последовательно со второй и третьей строками, умноженными на 2. Далее вторую строку складываем с третьей, умноженной на 11:

˜ .

Возвращаясь к системе уравнений получим, что соответствующая система будет иметь вид

Отсюда находим:

 

Задача 4Б. Методом Гаусса решить систему уравнений

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

 

˜ ˜

 

Эквивалентная матрица получена вычитанием из второй строки первой, умноженной на 3, из третьей – первой, умноженной на 5, из четвёртой – первой. Далее из второй строки последовательно вычитаем третью и четвёртую:

 

˜ ˜ .

Исключив из матрицы третью нулевую строчку, получим, что соответствующая система будет иметь вид

В полученной системе число уравнений меньше числа неизвестных слагаемых, следовательно, система имеет бесконечное множество решений. Решая эту систему, начиная с последнего уравнения, получим:

то есть

Здесь – базисные неизвестные, – свободная неизвестная. Так как может принимать любые значения, то решение можем записать в виде R.

 

Задача 4В. Методом Гаусса решить систему уравнений

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

 

˜ ˜ .

Здесь необходимо было сложить первую строку матрицы, умноженную на (-2) со второй, сложить первую строку матрицы, умноженную на (-4) с третьей и сложить первую строку матрицы, умноженную на (-5) с четвёртой. Затем в полученной матрице вторую строку, умноженную на (-1) прибавим к третьей. Данной матрице соответствует следующая система уравнений, равносильная исходной:

 

Третье уравнение этой системы не имеет смысла, поэтому система не имеет решений.

 

Задача 5А.Решить матричным методом систему

 

Решение.Имеем Найдем алгебраические дополнения

; ; ;

; ; ;

; ; .

 

Обратная матрица . Находим :

 

 

.

Таким образом

 

Задача 5Б.Решить с помощью формул Крамера систему уравнений

Решение.Единственное решение квадратной системы с невырожденной матрицей можно получить по формулам Крамера:

где – определитель матрицы системы, а , – определитель, полученный из определителя , заменой - го столбца столбцом свободных членов.

Выпишем матрицу системы и столбец свободных членов :

 

,

Находим определитель системы: Определитель отличен от нуля, следовательно, можно применить правило Крамера. Находим дополнительные определители:

 

Итак,

 

Ответ:

 

Задача 6. Задача 5.Даны векторы , и .

Доказать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение:Поскольку смешанное произведение

 

,

то векторы образуют базис. Тогда вектор можно представить в виде . Это равенство равносильно следующим равенствам:

 

 

поскольку равные векторы имеют равные координаты и координаты линейной комбинации векторов равны соответствующим линейным комбинациям одноименных координат.

Решив данную систему, находим

Итак, вектор в данном базисе имеет координаты .

 

Задачи для контрольной работы №1.

Задача 1.Даны координаты вершин треугольника . Найти:

а) длину стороны АВ;

б) уравнение и длину высоты СD;

в) уравнение медианы АМ;

г) точку пересечения высоты СD и медианы АМ.

 

Вариант А В С
(0;2) (2;1) (3;0)
(1;2) (3;4) (-5;0)
(-1;1) (2;5) (6;-2)
(-1;3) (0;2) (4;-1)
(3;4) (-1;2) (2;-1)
(-1;1) (1;5) (3;-2)
(1;1) (3;0) (-3;2)
(-2;4) (-6;8) (6;-16)
(-4;8) (5;-3) (10;6)
(1;3) (3;7) (-1;1)
(-2;0) (2;-3) (7;7)
(2;1) (5;-4) (9;6)
(1;1) (8;1) (6;8)
(-4;-1) (2;-5) (5;3)
(-1;-1) (3;-4) (7;6)
(-2;1) (2;3) (-1;3)
(-4;8) (1;-2) (6;9)
(2;0) (5;-3) (10;5)
(-4;7) (0;-1) (7;8)
(-7;6) (2;-6) (7;4)
(-5;7) (4;-5) (9;5)
(-3;5) (6;7) (11;3)
(-6;10) (3;-2) (8;8)
(-3;8) (4;-3) (9;6)
(-2;6) (0;0) (11;9)
(-5;6) (0;-5) (3;10)
(-1;0) (5;-4) (9;7)
(-4;7) (4;-2) (8;9)
(-6;0) (5;-7) (6;8)
(-4;0) (6;-3) (7;6)
(0;3) (9;2) (7;1)
(-1;3) (8;1) (2;-4)
(6;-2) (2;5) (-1;1)
(6;5) (1;-3) (-8;9)
(1;0) (5;2) (3;-1)
(13;2) (8;-8) (-2;4)
(10;5) (7;-1) (-2;11)
(5;10) (1;0) (-9;12)
(10;6) (5;-3) (-4;8)
(5;-2) (-1;2) (0;3)

Задача 2.Даны координаты вершин пирамиды ABCS. Найти:

а) уравнение плоскости АВС;

б) уравнение прямой АВ;

в) уравнение прямой SN, перпендикулярной к плоскости АВС;

г) косинус угла между плоскостями АВС и ВСS;

д) объем пирамиды АВСS;

е) уравнение прямой SD, параллельной прямой АВ;

ж) площадь грани АВС.

 

Вариант А В С S
(3;4;5) (1;2;1) (-2;-3;6) (3;-6;-3)
(1;-3;4) (0;-2;1) (1;1;-1) (5;6;7)
(1;2;-1) (-1;0;4) (-2;-1;1) (1;0;1)
(1;2;3) (4;-1;-2) (4;0;3) (4;3;6)
(1;-1;-3) (0;6;1) (2;2;-2) (0;-3;6)
(1;1;4) (2;-1;0) (3;2;1) (-1;4;3)
(2;1;-3) (1;1;0) (-1;2;7) (1;8;2)
(-7;-5;6) (-2;5;-3) (3;-2;4) (1;2;2)
(2;1;3) (0;0;2) (1;1;1) (6;9;3)
(1;0;1) (0;0;2) (1;1;1) (7;4;4)
(2;3;1) (4;-4;-2) (1;0;0) (4;7;5)
(1;-2;-5) (2;3;2) (-1;0;5) (-4;2;1)
(1;3;1) (-1;4;6) (-2;-3;4) (3;4;-4)
(2;4;1) (-3;-2;4) (3;5;-2) (4;2;-3)
(1;3;4) (0;1;2) (2;5;0) (1;-5;-7)
(-5;-3;-4) (1;4;6) (3;2;-2) (8;-2;4)
(1;2;3) (2;4;1) (2;0;-3) (-2;7;9)
(1;-1;1) (5;4;-2) (-1;2;2) (2;2;4)
(3;-1;2) (4;-1;-1) (2;0;2) (5;9;4)
(7;1;4) (9;-2;0) (0;3;-3) (0;1;2)
(3;1;4) (-3;-1;0) (2;1;-3) (7;3;2)
(2;1;0) (3;-1;-4) (0;2;-2) (8;0;2)
(3;-1;-1) (3;1;4) (1;0;5) (4;6;1)
(2;1;-1) (7;-1;3) (0;3;3) (5;2;1)
(2;-3;7) (-3;-1;5) (9;0;1) (-1;0;1)
(7;-3;4) (3;2;-1) (4;1;1) (5;-2;0)
(1;1;0) (2;1;-4) (0;1;0) (7;-1;-4)
(1;-1;4) (2;3;-4) (1;0;-5) (2;0;4)
(2;-4;7) (8;1;0) (-1;-3;0) (-1;0;-4)
(1;-1;0) (0;1;7) (-1;-2;-3) (4;3;1)
(-1;0;4) (-2;-1;1) (1;0;1) (1;2;-1)
(0;-2;1) (1;1;-1) (5;6;7) (1;-3;4)
(2;4;2) (-2;3;-5) (4;3;-6) (6;-5;3)
(4;-1;-2) (4;0;3) (4;3;6) (1;2;3)
(0;6;1) (2;2;-2) (0;-3;6) (1;-1;-3)
(2;-1;0) (3;2;1) (-1;4;3) (1;1;4)
(1;1;0) (-1;2;7) (1;8;2) (2;1;-3)
(-4;6;3) (3;-5;1) (2;6;-4) (2;4;-5)
(0;0;2) (1;1;1) (6;9;3) (2;1;3)
(0;0;2) (1;1;1) (7;4;4) (1;0;1)

Задача 3.Вычислить определитель четвертого порядка:

 

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;
5. ; 6. ; 7. ; 8. ;  
9. ; 10. ; 11. ; 12. ;
13. ;   14. ; 15. ;   16. ;
17. ; 18. ; 19. ; 20. ;  
21. ; 22. ; 23. ; 24. ;
25. ; 26. ; 27. ; 28. ;
29. ;   30. ;   31. ; 32. ;  
33. ;   34. ;   35. ; 36. ;  
37. ;   38. ;   39. ; 40. .  

Задача 4.Решить систему методом Гаусса (либо показать, что система несовместна).

.

1. 2.
3. 4,  
5. 6.  
7. 8.  
9. 10.  
11. 12.  
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.

 

 

Задача 5.Решить систему методом Крамера и матричным методом.

 

1 1.   1 2.  
1 3.   1 4.  
5. 1 6.  
7. 8.  
9. 10.
11. 12.  
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.

 

 

Задача 6.Даны векторы . Доказать; что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

 

Вариант
(4;5;2) (3;0;1) (-1;4;2) (5;7;8)
(-1;2;0) (-3;2;4) (0;0;1) (6;5;-4)
(3;-5;2) (4;5;1) (-3;0;4) (-4;5;-16)
(1;-3;2) (5;0;2) (-2;4;1) (8;1;3)
(-2;3;5) (1;-3;4) (7;8;-1) (1;20;1)
(6;3;2) (7;4;-5) (4;2;2) (4;1;2)
(1;3;5) (0;2;0) (5;7;9) (0;4;16)
(3;0;4) (6;3;4) (1;2;3) (-3;4;-2)
(2;4;-6) (1;3;5) (0;-3;7) (2;3;52)
(2;5;6) (1;2;2) (1;0;1) (3;2;2)
(4;3;-1) (5;0;4) (2;1;2) (0;12;-6)
(-1;2;0) (-3;2;4) (0;0;1) (4;3;-1)
(3;4;-3) (-5;5;0) (2;1;-4) (8;-16;17)
(1;-3;2) (5;0;2) (-2;4;1) (2;-1;-3)
(-2;1;7) (3;-3;8) (5;4;-1) (18;25;1)
(6;3;2) (7;4;-5) (4;2;2) (5;1;7)
(1;0;5) (3;2;7) (5;0;9) (-4;2;-12)
(3;0;4) (6;3;4) (1;2;3) (-1;5;-3)
(2;1;0) (4;3;-3) (-6;5;7) (34;5;-26)
(2;5;6) (1;2;2) (1;0;1) (4;3;2)
(5;4;1) (-3;5;2) (2;1;-3) (7;23;4)
(-1;2;0) (-3;2;4) (0;0;1) (6;3;-1)
(2;-1;4) (-3;0;-2) (4;5;-3) (0;11;-14)
(1;-3;2) (5;0;2) (-2;4;1) (6;-1;2)
(-1;1;2) (2;-3;-5) (-6;3;-1) (28;-19;-7)
(6;3;2) (7;4;-5) (4;2;2) (5;4;3)
(1;3;4) (-2;5;0) (3;-2;-4) (13;-5;-4)
(3;0;4) (6;3;4) (1;2;3) (3;-2;-2)
(1;-1;0) (-5;-3;1) (2;-1;0) (-15;-10;5)
(2;5;6) (1;2;2) (1;0;1) (4;2;0)
(3;1;2) (-7;-2;-4) (-4;0;3) (16;6;15)
(-3;2;4) (-1;2;0) (0;0;1) (6;5;-4)
(-3;0;1) (2;7;-3) (-4;3;5) (-16;33;13)
(5;0;2) (1;-3;2) (-2;4;1) (8;1;3)
(5;1;2) (-2;1;-3) (4;-3;5) (-45;15;-66)
(7;4;-5) (6;3;2) (4;2;2) (4;1;2)
(0;2;-3) (4;-3;-2) (-5;-4;0) (-19;-5;-4)
(6;3;4) (3;0;4) (1;2;3) (-3;4;-2)
(3;-1;2) (-2;3;1) (4;-5;-3) (-3;2;-3)
(1;2;2) (2;5;6) (1;0;1) (3;3;2)

 

...





Читайте также:
Технические характеристики АП«ОМЕГА»: Дыхательным аппаратом со сжатым воздухом называется изоли­рующий резервуарный аппарат, в котором...
Фразеологизмы и их происхождение: В Древней Греции жил царь Авгий. Он был...
Как оформить тьютора для ребенка законодательно: Условием успешного процесса адаптации ребенка может стать...
Развитие понятия о числе: В программе математики школьного курса теория чисел вводится на примерах...

Поиск по сайту

©2015-2022 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-10-25 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:


Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.153 с.