Решение нелинейного уравнения методом подбора параметров
Пусть на участке [a, b] задана непрерывная функция f(x) и требуется найти корни уравнения f(x) = 0. На рис.1 представлен график функции x3 - 0,01x2 – 0,7x- 0,14 на отрезке [-1;1].
Рис. 1..График функции x3 - 0,01x2 – 0,7x- 0,14.
Решение такой задачи выполняется в два этапа:
1. определение интервалов, на которых существуют корни,
2. вычисление каждого корня с заданной точностью.
Отделение корней заключается в поиске интервалов, на концах которых функция изменяет знак. В Excel для решения этой задачи удобнее всего построить график функции или протабулировать функцию.
Для поиска каждого корня используется команда Подбор параметра.
Последовательность действий для выполнения второго этапа решения уравнения
x3 - 0,01x2 – 0,7x- 0,14 = 0 (вычисление только одного корня при начальном приближении x0 = -1):
1. занести начальное значение (-1) в одну из ячеек, например, B2:
2. занести в ячейку С2 формулу =B2^3-0,01*B2^2-0,7*B2+0,14;
3. выделить ячейку С2 и вызвать команду Сервис→Подбор параметра;
4. установить параметры: задать требуемое значение функции (0), ссылку на ячейку с начальным значением аргумента (В2).
Выделенная ячейка обязательно должна содержать формулу, зависящую напрямую или косвенно от изменяемой ячейки!
Примеры задания параметров и результат поиска корня приведены на рис. …. Как видно из примера, решение (x = -0,91831) автоматически появляется в ячейке c начальным приближением к корню, а значение функции (0,00002) с точностью (0,001) – в ячейке, хранящей формулу.
Рис. 2. Фрагмент листа Excel при задании параметров и после получения результата методом подбора параметров.
На новом рабочем листе Нелинейное уравнение методом подбора параметров найдите все корни заданного уравнения f(x)=0.Для отделения корней и поиска начальных приближений постройте график заданной функции.
Решение нелинейного уравнения численным методом
Численными называются методы решения задач, основанные на построении конечной последовательности действий над конечным множеством чисел. Такая последовательность приближения к решению хорошо реализуется с помощью табличных построений.
Из множества численных методов нахождения корня нелинейного уравнения рассмотрим два: метод деления отрезка пополам и метод Ньютона.
Пусть на участке [a, b] задана непрерывная функция f(x) и требуется найти корень уравнения f(x) = 0 с точностью ε.
Метод деления отрезка пополам. Геометрический смысл метода заключается в последовательном делении отрезка [a,b], где находится корень, на две равные части и определении той части, где находится корень.
Пусть непрерывная функция f(x) имеет на концах отрезка [a,b] разные знаки, т. е. f(a)f(b)<0. тогда уравнение имеет корни внутри этого отрезка. Начальное приближение x0 выбирается равным середине отрезка: x0=(a+b)/2. Если f(x0)=0, то корень найден, в противном случае в качестве следующего приближения к корню выбирается значение середины отрезка [a,x0], если f(a)f(x0)<0, или [x0,b], если f(x0)f(b)<0. Процесс деления отрезка для локализации продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше ε. В этом случае любая точка отрезка локализации отличается от корня не более, чем на ε/2.
Метод Ньютона. Геометрический смысл метода заключается в замене нелинейной функции f(x) линейной, являющейся касательной к одному из концов отрезка. Начальное приближение выбирается таким образом, чтобы касательная к функции в точке x0 пересекала ось x внутри начального интервала [a,b]. Это оценивается по знакам функции и второй производной или графически. Определяется производная f’(x0). Вычисление очередного приближения производится по формулам:
x1=x0 - f(x0)/f’(x0),
x2=x1 - f(x1)/f’(x1),
…
xi=xi-1 - f(x1)/f’(x1),
…
До тех пор, пока не будет выполнено условие │xi-xi-1│ ≤ ε. Тогда xi – приближенный корень уравнения с точностью ε.
Формулы применения метода Ньютона для поиска корня уравнения x3 - 0,01x2 – 0,7x- 0,14 = 0 при начальном приближении x0 = -1 приведены на рис. Содержимое ячеек:
B4 ‑ начальное значение,
B5 – формула определения очередного значения xi,
C4 – формула вычисления f(xi),
D4 – формула вычисления производной f’(xi),
E4 – формула комментария найденного решения.
Задана точность вычисления 0,00001 (Сервис→Параметры, вкладка Вычисления, поле Относительная погрешность).
Рис.. Формулы заполнения таблицы для решения уравнения методом Ньютона.
Результат вычисления корня представлен на рис…. Как видно, понадобилось всего четыре итерации для нахождения значения корня. Метод Ньютона имеет хорошую сходимость и потому используется в самом Excel для реализации команды Подбор параметра.
.