Функция полезности u=f (x 1 ,x 2 ,…,xn) — субъективная числовая оценка полезности набора товаров x 1 ,x 2 ,…,xn. Линии уровня для функции полезности называются кривыми безразличия, поскольку ни один из соответствующих наборов товаров не имеет преимущества перед другими.
Функция издержек I (Y) =I (y 1 ,y 2 ,…,yn) — зависимость издержек в стоимостной форме от объемов y 1 ,y 2 ,…,yn выпускаемой продукции.
Производственная функция Y=f (x 1 ,x 2 ,…,xn) — зависимость объема или стоимости выпускаемой продукции от объемов x 1 ,x 2 ,…,xn перерабатываемых ресурсов. Линии уровня производственной функции называются изоквантами.
В экономической литературе часто используется производственная функция Кобба-Дугласа, которая является функцией двух переменных 
, где z — объем выпущенной продукции, K — объем основных фондов, L — объем трудовых ресурсов, 
— определенные постоянные, 
.
В дальнейшем будем подробно рассматривать функции двух переменных, поскольку все определения и теоремы могут быть обобщены на функции трех и более переменных.
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции
Определение 5.12. Число А называется пределом функции 
при 
и 
(или в точке 
), если для любого, сколь угодно малого положительного числа 
, найдется окрестность точки 
, такая, что для всех точек 
из этой окрестности, быть может за исключением точки , выполняется неравенство 
.
Обозначается предел так: 
или 
.
Определение 5.13. Функция z=f (x, y) называется непрерывной в точке P 0(a, b), если 
f (x, y)= f (a, b) или 
f (a, b).
Замечание. Функция будет непрерывной в точке , если она:
1) определена в точке ;
2) имеет конечный предел при и ;
3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. 
Определение 5.14. Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Функции двух и большего числа переменных, непрерывные в замкнутой ограниченной области, обладают свойствами, аналогичными свойствам функций одной независимой переменной, непрерывных на отрезке. Например, имеет место следующая теорема.
Теорема. Если функция z=f (P) непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области:
1) ограничена, т.е. существует N=const такая, что для всех точек из этой области выполняется: 
;
2) имеет наименьшее m и наибольшее M значения;
3) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между m и M.
Частные производные
Пусть на некотором множестве D определена функция z=f (P). Возьмем произвольную точку P (x, y) 
D и придадим переменной x произвольное приращение 
, оставляя значение переменной у неизменным. При этом таково, что точка (x+ , y) D. Тогда соответствующее приращение функции
z=f (x+ , y)– f (x, y)
называется частным приращением функциипо переменной x в точке P (x, y). Аналогично определяется частное приращение функции по переменной у:
z=f (x, y+ 
)– f (x, y).
Определение 5.15. Если существует конечный предел 
, то он называется частной производной функции z=f (x, y) в точке P (x, y) по переменной х и обозначается
.
Аналогично определяется частная производная функции z=f (x, y) по переменной у:
.
Частные производные так же обозначаются 
или 
, 
.
Из определения 5.15 следует, что частная производная функции двух переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении второй переменной. Поэтому вычисление частных производных производится по формулам и правилам нахождения производных функций одной переменной.
Рассмотрим примеры вычисления частных производных.
Пример 5.4. Найти частные производные 
функции
.
Решение. 
Пример 5.5. Найти частные производные 
функции 
Решение.
Пример 5.6. Пусть производственная функция z=F (K, L) выражает зависимость объема выпущенной продукции от факторов производства: K — объема основных фондов либо в стоимостном, либо в количественном выражении, L — объема трудовых ресурсов (число рабочих, число человеко-дней и т.д.).
Основными экономико-математическими характеристиками производственной функции являются: средняя производительность труда 
; средняя фондоотдача 
.
Наряду со средними показателями при анализе производственных функций играют роль и предельные характеристики функций.
Предельная производительность труда 
характеризует величину дополнительного эффекта от каждой дополнительной единицы затраченного труда в данной точке (K, L).
Для производственной функции Кобба-Дугласа 
имеем: 
, т.е. предельная производительность труда пропорциональна средней производительности.
Аналогично определяется предельная фондоотдача 
.
Применяемые в экономических исследованиях относительные производные (эластичности) для функции Кобба-Дугласа равны 
Пример 5.7. На предприятии с объемом фондов 10 млрд. грн., количеством работников 1000 человек запланировано повышение выпуска продукции на 3%, для этого необходимо увеличить объем фондов на 6% или количество работников на 9%. Найти выражение функции Кобба-Дугласа, среднюю фондоотдачу и предельную фондоотдачу, если в 2000 году один работник производил за год продукции на 1 млрд. грн.
Решение. Из условия следует, что 
=3/6=1/2, 
=3/9=1/3, таким образом 
. Подставляя данные условия, получим уравнение 106×1000 =А ×(1010)1/2×(1000)1/3. Следовательно, А= 1000 и 
. Средняя фондоотдача 
, предельная фондоотдача 
Полный дифференциал
Определение 5.16. Полным приращением функции z=f (P) в точке P (x, y), соответствующим приращениям 
и 
переменных x и y называется выражение
Δz=f(x+ ,y+ )–f(x,y). (5.1)
Полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных приращений, т. е. 
.
Определение 5.17. Функция z=f (P) называется дифференцируемой в точке P (x, y), если ее полное приращение (5.1) в этой точке может быть представлено в виде
Δz=A +B +α(, ) +β(, ) 
,
где A и B не зависят от и , а α(, ) и β(, ) — бесконечно малые функции при → 0, → 0 (т.е. 
).
Теорема 1. (Необходимое условие дифференцируемости). Если функция z=f (P) дифференцируема в точке P (x, y), то она имеет в этой точке частные производные fx´ (x, y) и fy´ (x, y), причем fx´ (x, y)= A, fy´ (x, y)= B.
Теорема 2. (Достаточное условие дифференцируемости). Если функция z=f (P) имеет частные производные в некоторой окрестности точки P (x, y) и эти производные непрерывны в самой точке P (x, y), то эта функция дифференцируема в точке P (x, y).
Замечание. Понятие дифференцируемости для функции трех и более переменных вводится аналогично понятию, рассмотренному для функции двух переменных.
Определение 5.18. Дифференциалом dz дифференцируемой в точке P (x, y) функции z=f (P) называется линейная относительно приращений и часть полного приращения этой функции, т.е.
dz = A +B . (5.2)
Используя теорему 1, выражение (5.2) можно записать следующим образом
dz = fx´ (x, y) +fy´ (x, y) . (5.3)
Если положить z=x, то dz=dx= 1 + 0 , т.е. dx= , аналогично dy= и дифференциал (5.3) можно записать как
dz = fx´ (x, y) dx+fy´ (x, y) dy.
Таким образом, полный дифференциал функции 
вычисляется по формуле
или
(5.4)
Аналогично полный дифференциал функции трех аргументов 
вычисляется по формуле 
Замечание. Из определения следует, что 
. Этим широко пользуются в приближенных вычислениях, т.к. дифференциал обычно легче подсчитать, чем полное приращение.
Пример 5.8. Дана функция 
. Найти dz.
Решение.
Следовательно,
.
Пример 5.9. Найти полное приращение и полный дифференциал функции 
при изменении 
от точки 
до точки 
.
Решение.
;
Очевидно, что 
.
Пример 5.10. Вычислить приближенно 
Рассмотрим функцию z=xу.
Вычисление с помощью калькуляторадает следующий результат 
ЛИТЕРАТУРА
Для содержательных модулей
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3. — М.: Высш.шк., 1981.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988.
Основная
1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2003.
2. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. — М.: Инфра-М, 1997.
3. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. — М.: Финансы и статистика, 2003.
4. Ляшенко И.Н., Ляшенко Е.И. Математика для экономистов: Учебное пособие для подготовки бакалавров экономического профиля. — 1998.
5. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие для вузов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
6. Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. — Минск, 1968.
7. Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу высшей математики./ Под ред. А.И. Карасева и Н.Ш. Кремера. — М.: Экономическое образование, 1989.
8. Данко П.Е., Попова А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. — М.: Высш.шк., 1974.
Сборники задач
1. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: Наука, 1977.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1977.