Свойства сходящихся рядов

Лекция 17

Числовые ряды. Признаки сходимости рядов.

Вопросы:

1. Понятие числового ряда.

2. Сходимость ряда.

3. Необходимый признак сходимости ряда.

4. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов:

а) признаки сравнения;

б) признак Даламбера;

в) радикальный признак Коши;

г)интегральный признак Коши.

5. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.

6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

7. Функциональные ряды. Область сходимости ряда.

В теоретических исследованиях различных экономических процессов, таких, как определение цены бессрочных акций, величины ренты, оценке эффективности инвестиционных проектов и т.п. используются бесконечные ряды, их суммы. Одним из наиболее актуальных приложений являются временные ряды.

 

Числовые ряды. пРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ.

Основные понятия. Сходимость ряда

Пусть дана бесконечная числовая последовательность а ₁, а ₂, …, а_n…

Определение 8.1. Числовым рядом называется выражение

. (8.1)

Числа а _1, а ₂, … — члены ряда, а _n — общий член ряда или n -ый член.

Если все члены ряда положительны, то соответствующий ряд — знакоположительный. В зависимости от того, какие знаки имеют члены ряда (8.1), можно рассматривать знакоотрицательные, знакоположительные, знакопеременные ряды. Частным случаем знакопеременных рядов является знакочередующиеся ряды. Например,

1–1+1–1+…+(-1) ^{n +1}+…,

Определение 8.2. Частичной суммой ряда (8.1) называется сумма n первых членов ряда:

S_n=a ₁ +a ₂ +…+a_n.

Частичные суммы ряда:

S ₁ =a ₁, S ₂ =a ₁ +a ₂ =S ₁ +a ₂, S ₃ =a ₁ +a ₂ +a ₃ =S ₂ +a ₃, … S_n=S_{n -1} +a_n,… образуют числовую последовательность, сходимость которой можно исследовать, вычислив ее предел.

Определение 8.3. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм , то говорят, что ряд (8.1) сходится и его сумма равна S.

Если не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся и суммы не имеет.

В школьном курсе математики рассматривались геометрические прогрессии.

Геометрической прогрессией называется ряд

a+aq+aq ² +…+aq^{n- 1} +…, a≠ 0.

Сумма первых членов .

Если │ q │<1, то и, следовательно,

.

Таким образом, при │ q │<1 бесконечная геометрическая прогрессия представляет собой сходящийся числовой ряд, сумма которого .

Если q >1, то и, следовательно, , то есть ряд расходится.

Если q <-1, то не существует.

При q= 1 получим ряд: a+a+a+…a+…, тогда при и, следовательно, ряд расходится.

При q=- 1 получим тоже расходящийся ряд: a-a+…+ (-1) ⁿa+…

Вывод: бесконечная геометрическая прогрессия представляет собой ряд, который сходится при │ q │< 1 и расходится при │ q │≥ 1.

Пример 8.1. С помощью определения сходимости исследовать сходимость гармонического ряда:

Предположим, что этот ряд сходится и его сумма равна S. Тогда по свойствам пределов

Но , каждое слагаемое, кроме последнего, в этой сумме больше или равно , следовательно:

S_2n-S_n>n = , значит, равенство не выполняется.

Таким образом, гармонический ряд является расходящимся рядом.

 

Свойства сходящихся рядов

Рассмотрим простейшие теоремы.

Пусть имеем ряд

a ₁ +a ₂ +…+a_n+… + a_{n+ 1} +…+a_n+m+… (8.2)

Если в ряде (8.2) отбросить первые n членов, то получится ряд, который называется остатком ряда (8.2) после n– го члена и обозначается через r_n, то есть:

r_n=a_{n+ 1} +a_{n+ 2} +…+a_n+m+… (8.3)

Теорема 1. Если ряд (8.2) сходится, то сходится и его остаток, и, наоборот, если сходится остаток, то сходится и ряд

Доказательство. Пусть сходится ряд (8.2), докажем, что сходится и его остаток (8.3).

Запишем частичную сумму первых n+m членов ряда:

S_n+m=S_n+(a_{n+ 1} +a_{n+ 2} +…+a_n+m) (8.4)

Зафиксируем номер n и пусть m→∞, тогда предел левой части равенства (8.4) по условию существует и равен сумме S ряда. В правой части предел первого слагаемого S_n есть само это число, так как частичная сумма S_n постоянна при фиксированном n, следовательно, предел второго слагаемого при m→ ∞ также конечный, т.е. остаток сходится и его сумма равна r_n. Таким образом,

S=S_n+r_n, ч.т.д.

Рассмотрим два числовых ряда:

a ₁ +a ₂ +…+a_n+… (8.5)

b ₁ +b ₂ +…+b_n+ … (8.6)

Определение 8.4. Ряд

(a ₁ +b ₁) + (a ₂ +b ₂) +…+ (a_n+b_n) +… (8.7)

называется суммой рядов (8.5) и (8.6).

Определение 8.5. Если k — число, то ряд

ka ₁ +ka ₂ +…+ka_n+… (8.8 )

называется произведением ряда (8.5) на число k.

Теорема 2. Если ряды (8.5) и (8.6) сходятся, А и В соответственно их суммы, то ряд (8.7) также сходится и его сумма равна А+В.

Теорема 3. Если ряд (8.5) сходится и его сумма равна А, то ряд (8.8) сходится и его сумма равна kА.

Доказательство.

Пусть и , а Тогда и что и требовалось доказать.