1. Инварианты системы тел. Кроме инвариантных (независимых от системы отсчета) величин, характеризующих свойства тела, существуют инвариантные величины, (независимые, не изменяемые) во времени. Тело или группа тел переходит из состояния в состояние, а инвариантные величины не меняются. Наличие таких сохраняющихся величин часто очень помогает решению основной задачи механики, когда, например, силы изменяются во времени и трудно учесть их действие на тела. Мы уже встречались с одним таким инвариантом, когда говорили о законе сохранения импульса. В этой лекции речь пойдет о другом инварианте – механической энергии.
2. Механическая энергия – это скалярная величина, являющаяся мерой движения и взаимодействия тел. Ее главное свойство то, что в замкнутой системе при отсутствии в ней сил трения и сопротивления, суммарная механическая энергия всех тел системы сохраняется во времени, вне зависимости от взаимодействия тел и изменения их скоростей и координат. Это свойство, называемое законом сохранения механической энергии, является следствием однородности времени. Однородность времени означает, что уравнения механики не зависят от момента времени. Т.е. если некоторый опыт произвести повторно через какое-то время, то результат его будет тот же. Связь однородности времени и сохранения механической энергии доказала немецкий математик Эмми Нётер.
3. Кинетическая энергия – это функция движения тела. Джеймс Джоуль экспериментально показал, что, если движущееся тело остановить с помощью сил трения, то при этом выделяется теплота пропорциональная массе тела m и квадрату его скорости V2. Сохраняющаяся величина Ек= mV2/2 называется кинетической энергией материальной точки. Она является характеристикой движения тела. Единица измерения энергии названа Джоуль в честь Дж. Джоуля. Ее размерность [кг м2/с2].
4. Работа. Чтобы сообщить телу скорость, нужно приложить к нему силу в течении некоторого промежутка времени. Пусть тело движется прямолинейно со скоростью V1 и на него действует сила F под углом α к направлению скорости. Под действием тангенциальной составляющей силы Ft = F cosα тело получает ускорение a=Ft / m cosα. Пусть оно прошло путь ΔS. Из кинематики известно, что V22 – V12 = 2a ΔS, где V2 – конечная скорость тела.
Подставим сюда выражение для ускорения. Получим V22 – V12 =2 Ft /m ΔS cosα. Умножим это выражение на m/2 и получим mV22/2 – mV12/2 = Ft ΔS cosα. ΔЕк = mV22/2 – mV12/2 – это изменение кинетической энергии в результате действия силы Fx = F cosα. Величина A = Fx ΔS = F ΔS cosα называется работа. Отсюда видно, что для изменения кинетической энергии тела, нужно совершить работу.
Если сила F направлена в сторону перемещения тела (cosα > 0), то кинетическая энергия увеличивается, т.е. mV22/2 – mV12/2 >0. Смысл этого выражения в том, что чтобы увеличить кинетическую энергию тела, нужно совершить работу
Если сила F направлена в сторону противоположную перемещению тела (cosα < 0), то кинетическая энергия уменьшается, т.е. mV22/2 – mV12/2 < 0. Смысл этого выражения в том, что тело за счет своей кинетической энергии совершает работу. Следовательно, можно определить, что кинетическая энергия – это способность совершить работу. Сам термин «энергия» означает по-гречески «содержащая действие». Механическое действие – это и есть работа. Кинетическая энергия изменяется под действием силы, следовательно, она сама инвариантом не является.
Если сила F направлена перпендикулярно вектору перемещения, то cosα = 0, работа не совершается, и кинетическая энергия тела не меняется. Поэтому, например, если планета движется вокруг Солнца по круговой орбите, то ее кинетическая энергия, а значит и скорость, остается постоянной.
Найдем теперь формулы для вычисления работы различных сил.
5. Работа силы тяжести. Рассмотрим действие на тело силы тяжести P =mg. Пусть сила тяжести постоянна, т.е. не меняется с высотой. Пусть тело перемещается под действием тяжести по короткому отрезку прямой длиной ΔS из точки 1с высотой h1 в точку 2 с высотой h2. Работа силы тяжести будет равна: A = mgΔS cosα = mg (h1 –h2)
Пусть теперь тело перемещается между теми же точками, но не по прямой, а по произвольной траектории. Оказывается, что работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела, а определяется только разностью его начальной и конечной высоты h. Докажем это.
Чтобы вычислить работу при перемещении, по кривой, разобьем траекторию на маленькие отрезки, так, что их можно будет считать отрезками прямой. На каждом отрезке ΔSi работа будет равна: ΔAi = ΔSi mg cosα = mg|Δhi| Суммарная работа А = Σ ΔAi = mg Σ|Δhi| = mg (h1 – h2). Значит работа не зависит от формы траектории движения тела. Заметим, что, этот результат был бы невозможен, если бы сила тяжести зависела бы от величины скорости тела или ее направления.
Если тело пройдет по замкнутой траектории, то h1 = h2 и А=0. Это еще одно свойство работы силы тяжести: работа силы тяжести по замкнутому контуру равна нулю. Эту же особенность работы силы тяжести можно доказать и для случая, когда сила тяжести не постоянна, а зависит от координат.
6. 
Работа силы упругости. Поскольку сила упругости изменяется при сжатии пружины по закону Гука: Fу =- kx, то чтобы вычислить работу при перемещении пружины от координаты х1 до координаты x2 , нужно отрезок (x2 – x1) разбить на маленькие кусочки Δxi, на которых силу Fi можно считать постоянной. Тогда работа на этом отрезке можно считать равной ΔAi = Fi Δxi А это площадь прямоугольника со стороной Δxi. Вся работа на интервале (x2 – x1) будет равна площади трапеции A = ½ (F1 + F2) (x2 – x1) = -к/2 (x1 + x2) (x2 – x1). → А = kx12 /2 - kx22/2
На графике F(x) можно увидеть, что если пружину сначала сжать, а потом разжать, то суммарная работа будет равна нулю. Значит, как и в случае силы тяжести, работа силы упругости по замкнутому контуру равна нулю. И также величина силы – функция только координат, но не скорости.
7. Понятие о потенциальной энергии. Заметим, что для обеих рассмотренных выше сил работа равна разности значений некоторой функции координаты в начальной и конечной точках траектории:
Работа силы тяжести: Аст = mg x1 – mg x2. Работа силы упругости: Aу = kx12 /2 - kx22/2. Эта функция координат называется потенциальной энергией тела. Она устроена так, чтобы работа бы равна разности потенциальных энергий тела в начале и в конце пути: A = Eп(x1) – Eп (x2). Исходя из этого требования, потенциальная энергия силы тяжести будет: Епт = mgh, а потенциальная энергия силы упругости: Епу = кх2/2.
Потенциальная энергия, как и кинетическая является способностью тела совершить работу. Только в случае кинетической энергии работа совершается за счет изменения скорости тела, а для потенциальной – за счет изменения взаимного расположения взаимодействующих тел, или, как еще говорят за счет изменения конфигурации системы.
8. Консервативные силы и закон сохранения полной механической энергии. Сила гравитации, электрическая сила кулоновского взаимодействия зарядов, а также сила упругости являются консервативными силами. Величина и направление консервативных сил не зависит от скорости тела, а определяется только взаимным расположением тел или конфигурацией системы. Еще одним свойством консервативных сил является независимость работы от формы траектории движения. Или, что тоже самое – работа консервативной силы по замкнутому контуру равна нулю.
Каждой консервативной силе, действующей на тело, соответствует своя потенциальная энергия. Если при движении тела кинетическая энергия тела, например, увеличивается за счет действия консервативной силы, то соответствующая потенциальная энергия уменьшается. Рассмотрим, например, движение тела под действием силы тяжести между точками 1 и 2. При этом совершается работа A = Eп1 – Еп2. Эта работа идет на увеличение кинетической энергии тела А = Ек2 – Ек1. Значит Ек2 – Ек1 -= Eп1 – Еп2. Или иначе: Ек1 + Еп1 = Ек2 + Еп2 Таким образом полная механическая энергия тела, равная сумме кинетической и потенциальной энергии сохраняется. Это же равенство справедливо и для всех других консервативных сил. Собственно, это свойство «консервировать» кинетическую энергию в виде потенциальной, а потом отдавать ее обратно объясняет происхождение термина «консервативная сила».
Поскольку каждой консервативной силе соответствует своя потенциальная энергия, их называют еще потенциальными.
Итак, при любых перемещениях тела полная механическая энергия тела Eм = Ек + Σ Епi сохраняется. Это закон сохранения механической энергии. Если рассматривать не одно тело, а систему взаимодействующих тел, то в ней энергия может переходить от тела к телу, но полная механическая энергия всех тел также сохраняется. Есть два требования, которые необходимы, чтобы выполнялся закон сохранения полной механической энергии:
8.1. Система замкнута
8.2. В системе действуют только консервативные силы, т.е. отсутствуют силы трения и сопротивления.
9. Работа силы трения. Работа силы трения Атр = Fтр ΔS cos α. Сила трения направлена всегда в сторону противоположную перемещению, т.е. скорости. Значит cos α для нее равен -1. Fтр = μN, где N – сила нормального давления. Итак, работа силы трения A = - μN ΔS. Если посчитать работу силы трения, совершенную при перемещении по замкнутой траектории длиной S,то она будет равна A = - μN S <0. Сила трения зависит от скорости тела, а не от координат, и ее работа по замкнутому контуру не равна нулю. Значит сила трения не консервативная сила.
Движение под действием силы трения сопровождается потерей телом или системой тел части механической энергии. На самом деле, трение преобразует механическую энергию тела в другой вид энергии – в тепловую. Эквивалентность механической энергии и тепловой как раз и доказал Джоуль своими экспериментальными работами. Тепловая энергия в сущности тоже является кинетической энергией движения молекул тела, но в отличии от механической энергии, движение молекул абсолютно хаотично. Поэтому тепловую энергию невозможно полностью превратить обратно в механическую. Говорят, что тепловая энергия – рассеянная энергия, а силы трения и сопротивления – рассеивающие или диссипативные силы. Доказательство невозможности полного превращения тепловой энергии в механическую содержится во втором начале термодинамики.
10. Изменение полной механической энергии системы. Полная механическая энергия системы тел может изменяться по двум причинам:
10.1. Если в системе действуют диссипативные силы трения
10.2. Если система тел не замкнута, т.е. на нее действуют внешние силы, которые могут совершить в ней работу и этим изменить величину полной механической энергии.
С учетом этого изменение полной механической энергии системы ΔЕ= Авн + Атр
11. Мощность и коэффициент полезного действия. Мощность – это работа, произведенная в единицу времени: N=A/t. Размерность мощности [Дж/с]. Единица мощности 1 Вт (Ватт) = 1 Дж/с. Если в каком-либо процессе затрачивается работа Аз, а полезный результат – это какой-либо вид энергии, например, потенциальная энергия поднятого над землей тела или кинетическая энергия движущегося тела, то эффективность использования затраченной работы можно оценить величиной КПД (коэффициента полезного действия) η= Ап/Аз, где Ап- полезная работа, равная полученной полезной кинетической или потенциальной энергии. Закон сохранения энергии требует, чтобы η<=1, но т.к. в любой системе есть трение, то практически всегда η<1.
12. Формулы и константы.
12.1. Работа А = F ΔS cos α
12.2. Ек= mV2/2 - кинетическая энергия тела.
12.3. Работа силы тяжести:
12.4. Работа силы упругости:
12.5. Работа силы трения Атр = Fтр ΔS cos α = - μN ΔS
12.6. Епт=mgh - потенциальная энергия тела в поле силы тяжести. g- ускорение свободного падения. В однородном поле g=const. В частности, на уровне моря g=9,81 м/с2.
12.7. Епт=m GM/r потенциальная энергия тела в поле силы тяжести материальной точки или однородного шара массой М. Здесь r – расстояние от тела до центра шара (формула дается без вывода)
12.8. Епу = - к х2/2 – потенциальная энергия деформированного упругого тела. Здесь к – коэффициент жесткости, х– деформация тела.
12.9. Ем = Ек + Σ Епi – закон сохранения полной механической энергии тела.
12.10. ΔЕм = Авн + Атр –изменения полной механической энергии в не замкнутой системы при наличии в ней сил трения
12.11. η= Ап/Аз – формула вычисления КПД