ТЕМА 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

РАЗДЕЛ 1: ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Задача 1. В ящике находится 10 бракованных деталей и 15 годных деталей, которые тщательно перемешены. Найти вероятность того, что случайно (наугад, наудачу) извлеченная деталь будет годной.

Решение: Обозначим через А событие, состоящее в появлении годной детали. Общее число исходов равно общему числу деталей, т.е. 25 (N=25); число исходов, благоприятствующих появлению годной детали, равно 15 (М=15). Следовательно, P(A)=M/A=15/25=3/5

Задача 2. Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет четное число очков?

Решение: Событие В - выпадение четного числа очков.

М - число граней с четным числом очков (2, 4, 6, т.е. М=3)

N - число всех граней игральной кости (N=6)

Задача 3. В урне находятся n₁ шаров белого цвета и n₂ шаров черного цвета. Из урны аудачу без возвращения извлекают m шаров (). Определить вероятность того, что среди извлеченных шаров будет k шаров белого цвета.

Решение. Весь комплекс условий и действий можно изобразить так:

n₁ белых шаров

n₂ черных шаров m = k (белых) + (m-k) черных

Определим элементарный исход – «набор из m шаров» (здесь мы имеем в виду, что шары извлекаются без возвращения и порядок следования шаров в наборе не важен).

Определим число элементарных исходов . Т.к. все наборы, состоящие из m шаров, имеют равные шансы на реализацию, то выделенные исходы равновозможны. Классическое определение вероятности применять можно.

Определим случайное событие А – «среди извлеченных m шаров имеется ровно k шаров белого цвета» (при этом подразумевается, что остальные извлеченные шары – черного цвета).

Определим М – число исходов, благоприятствующих наступлению события А, т.е. подсчитаем число наборов по m шаров, в которых будет k шаров белого цвета и (m-k) шаров черного цвета. .

Согласно классическому определению вероятности, все условия применения которого выполнены, получаем:

.

Статистическое определение вероятности.

1.

Пример: Производится 100 выстрелов по мишени, при этом имеет место 98 попаданий. 98 – это частота, а 98/100 – это частость.

 

2.

3. P*(A) ≈ P(A)

 

 

ТЕМА 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

1. D=А*В ( А В).

2. С=A+B (А В)

3. Е =А\В

4. Диаграммы Венна

1. А		2. В		3. А+В		АВ
5.		6.		7. А-В=А		8. В-А=В
9.		10.

 

5. Операции сложения и умножения событий обладают следующими свойствами:

1) А+В=В+А

2) А+(В+С)=(А+В)+С

3) АВ=ВА

4) А(ВС)=(АВ)С

6. Теорема сложения вероятностей.

1) Р(А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ).

2) Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

3) Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+ Р(С).

4) Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+ Р(С)- Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС)- Р(АВС).

5) Р(А1)+Р(А₂)+...+Р(Аn)=1 или

7. .

8. Р(А/В)= Р(А) или Р(В/А)= Р(В).

9. .

10. .

11. Р(АВ)=Р(А) Р(В).

12. Р(АВ)=Р(А) Р(В/А)=Р(В) Р(А/В).

13. P(A1*A2*A3….An)= P(A1)*P_A1(A2)*P_А1А2(A3)…

14. P(A)=1 - P(Ā₁)*P(Ā₂)…P(Ā_n)

15. Р(А)=1 – Р(Ā₁)*Р_Ā1(Ā₂)*Р _{Ā 1 Ā2}(Ā₃)*…*Р _{Ā1 Ā2 Ā3…Ān-1}(Ā_n)

Пример 1: Два студента сдают экзамен. Первый выучил 20 из 30 вопросов, а второй 25 из 30. Какова вероятность того, что: а) оба студента сдадут экзамен, б) хотя бы 1 студент сдаст экзамен.

Решение: 1. Обозначим события: А - 1-й студент сдал экзамен; В - 2-ой студент сдал экзамен; С - оба сдадут экзамен; D - хотя бы 1 студент сдаст экзамен.

2. Определим вероятности:

P(A)=M/N=20/30=0,67; P(B)=M/N=25/30=0,83

а) Т.к. А и В независимые события, то Р(С) = Р(А*В) = 0,67 * 0,83 = 0,5561

б) P(D) = 1-Р(Ā)*Р()= 1-0,33*0,17 = 0,9439, где Р(Ā) = 1 - Р(А) = 1-0,67 = 0,33

P(B) = 1 - P() = 1-0,83 = 0,17

16.

Пример 2: При слиянии акционерного капитала двух фирм, аналитики фирмы, которая получает контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы уйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха равна 0,3. Аналитики полагают, что шансы на уход в отставку председателя составляют 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки.

Решение:

1. Обозначим событие А - успех сделки;

2. Обозначим гипотезы: Н₁ - председатель уйдет в отставку, H₂ - председатель не уйдет в отставку.

3. Определим вероятность события А:

Гипотезы Нi	Вероятности гипотез Р(Нi)	Условные вероятности Р(А/Нi)	Совместные вероятности Р(Нi)* Р(А/Нi)
Н1	0,7	0,65	0,455
Н2	0,3	0,3	0,09
Сумма	1	---	Р(А)=0,545

Или по формуле:

 

17.

Пример 3: Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7; в период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,4 и при низких темпах экономического роста доллар подражает с вероятностью 0,2. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста 0,3, умеренного экономического роста 0,5 и низкого экономического роста - 0,2. Предположим что доллар подорожал в течение текущего периода. Чему в таком случае равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста.

Решение:

1.Определим событие А - доллар подорожал;

2.Определим гипотезы Н₁ - активный экономический рост, H₂ - умеренный экономический рост, Н₃ - низкий экономический рост.

3. Используя формулу Байеса и подставляя заданные значения вероятностей найдем P(H₁/А):

Тот же результат можно получить, используя таблицу следующего вида:

Гипотезы Нi	Априорные вероятности гипотез Р(Нi)	Условные вероятности РНi(А)	Совместные вероятности Р(Нi)*РНi(А)	Апостериорные вероятности РА(Нi)
Н1	0,3	0,7	0,21
Н2	0,5	0,4	0,20
Н3	0,2	0,2	0,04
Сумма	1	---	Р(А)=0,45	1

18. Р(А)=р, Р(Ā)=q, p+q=1.

19. ,

Пример 4: Монету бросают 10 раз. Какова вероятность того, что при этом герб выпадает 4 раза?

Решение: по условию n=10, m=4, р=0,5, q=0,5

20. np – q ≤ m₀ ≤ пр + р,

Пример 5: Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Производиться 8 выстрелов по цели. Каково наивероятнейшее число попаданий в цель в таком случае?

Решение:

1. По условию имеем n = 8, р = 0,7, q = l-p=1 - 0,7 = 0,3

2. пр - q ≤ т₀ ≤ пр + р.

8*0,7-0,3 ≤ m₀ ≤ 8*0,7 + 0,7

5,3 ≤ т₀ ≤ 6,3

т.к. пр - q = 5,3 - дробное число, то в соответствии с условием (3) m₀=6