Организационный момент
Учитель: Здравствуйте, ребята! Дежурный, кто отсутствует на уроке?
Учитель: Запишите число, классная работа и тему урока. Сегодня на уроке мы закрепим тему «Сложение и умножение числовых неравенств». Вы узнаете, как выполняется сложение и умножение числовых неравенств.
Актуализация опорных знаний
Учитель: Вспомним определение числового неравенства.
Ученик: Число 
больше числа 
, если разность 
- положительное число; число меньше числа , если разность - отрицательное число.
Учитель: Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств. Для каждого свойства приведите примеры.
Ученик: Теорема 1. Если 
, то 
; если 
, то 
.
Пример: Если 
; если 
.
Ученик: Теорема 2. Если и 
, то 
.
Пример: Если 
и 6 
, то 2 .
Ученик: Теорема 3. Если и 
- любое число, то 
.
Пример: Если 
и 
, то 
, 
.
Ученик: Теорема 4. Если и 
– положительное число, то 
. Если и – отрицательное число, то 
.
Если обе части верного неравенства умножить или разделить а одно и то же положительное число, то получится верное неравенство; если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
Пример: 
и , то 
, 
.
Пример: и 
, то 
, 
.
Ученик: Следствие. Если и - положительные числа и , то 
.
Пример: 
, 
и 
, то 
.
Изучение нового материала.
Учитель: Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство. Записываем, теорема 5. Если и 
, то 
.
Пример, 
и 3 
, 
, 
.
Запись в тетрадях: Теорема 5. Если и , то .
Пример, и 3 , , .
Учитель: Докажем теорему. Что нам дано?
Ученик: Нам даны два числовых неравенства и .
Учитель: А что нам нужно доказать?
Ученик: Что .
Учитель: Как думаете, на что мы будем опираться при доказательстве данной теоремы?
Ученик: На свойства числовых неравенств.
Учитель: Док-во. Давайте прибавим к обеим частям неравенства число . Что мы получим?
Ученик: Для этого мы воспользуемся теоремой 3, которая выражает одно из свойств числовых неравенств. У нас получится .
Учитель: Теперь давайте прибавим к обеим частям неравенства число
Ученик: Мы так же воспользуемся теоремой 3, и у нас получится 
.
Учитель: И какой мы вывод можем сделать?
Ученик: Если и , то .
Учитель: Что нам и требовалось доказать. Теорема доказана.
Учитель: Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство. Записываем, теорема 6. Если и , где 
- положительные числа, то 
.
Пример, и 3 , 
, 
.
Запись в тетрадях: Теорема 6. Если и , где - положительные числа, то . Пример, и 3 , , .
Учитель: Докажем теорему. Что нам дано?
Ученик: Нам даны два числовых неравенства и , где - положительные числа.
Учитель: А что нам нужно доказать?
Ученик: Что .
Учитель: Док-во. Давайте умножим обе части неравенства на положительное число . Что мы получим?
Ученик: Для этого мы воспользуемся теоремой 4, которая выражает одно из свойств числовых неравенств. У нас получится .
Учитель: Теперь давайте умножим обе части неравенства на положительное число .
Ученик: Мы так же воспользуемся теоремой 4, и у нас получится 
.
Учитель: И какой мы вывод можем сделать?
Ученик: Если и , то .
Учитель: Что нам и требовалось доказать. Теорема доказана.
Учитель: Теперь запишем следующее. Следствие. Если числа и положительны и , то 
, где 
- натуральное число.
Пример, , 
; 
, 
.
Запись в тетрадях: Следствие. Если числа и положительны и , то , где - натуральное число.
Пример, , ; , .
Учитель: Доказанные свойства используются для оценки суммы, разности, произведения и частного. Разберем пример из учебника на странице 162.
Пусть, например, известно, что 
и 
. Требуется оценить сумму 
, разность 
, произведение 
и частное 
.
1. Оценим сумму 
.
Применив теорему о почленном сложении неравенств к неравенствам 
и 
, а затем к неравенствам 
и 
, получим 
и 
. Результат можно записать в виде двойного неравенства 
. Запись обычно ведут короче:
2. 
Оценим разность 
.
Для этого представим разность в виде суммы 
. Сначала оценим выражение 
. Так как , то 
, т. е. 
. Применим теперь теорему о почленном сложении неравенств:
3. Оценим произведение 
.
Так как каждое из чисел 
и 
заключено между положительными числами, то они так же являются положительными числами. Применив теорему о почленном умножении неравенств, получим
4. Оценим частное 
.
Для этого представим частное в виде произведения 
. Сначала оценим выражение 
. Так как , то 
, т. е. 
. По теореме о почленном умножении неравенств имеем
4. Формирование умений и навыков.
Учитель: Теперь решаем номер 765.
Ученик: № 765.
а) 
и 
, то по теореме 5 получаем 
, 
б) 
и 
, то по теореме 5 получаем 
, 
Запись на доске и в тетрадях:
№ 765.
а) и , то по теореме 5 получаем ,
б) и , то по теореме 5 получаем ,
Учитель: Теперь выполняем номер 766.
Ученик: № 766.
а) 
и 
, то по теореме 6 получаем 
, 
б) 
и 
, то по теореме 6 получаем 
, 
Запись на доске и в тетрадях:
№ 766.
а) и , то по теореме 6 получаем ,
б) и , то по теореме 6 получаем ,
Учитель: Решаем № 768.
Ученик: № 768.
и 
.
а) 
; 
.
б) Сначала оценим выражение 
; 
.
; 
.
в) 
.
г) Сначала оценим выражение 
, т.е. 
, 
Запись на доске и в тетрадях:
№ 768.
и .
а) ; .
б) Сначала оценим выражение
; .
; .
в) .
г) Сначала оценим выражение
, т.е.
,
Учитель: Теперь № 770.
Ученик: № 770.
и 
а) 
; 
.
б) 
; 
;
; 
; 
.
Запись на доске и в тетрадях:
№ 770.
и
а) ; .
б) ; ;
; ; .
Учитель: № 772.
Ученик: № 772. Периметр равнобедренного треугольника равен 
. Нам даны два двойных неравенства 
и 
. Но нам не известно 
, найдем его 
. Теперь мы можем оценить и сам периметр
; 
, 
Запись на доске и в тетрадях:
№ 772.
; и
1) 
.
2) 
; 
, 
Учитель: № 774.
Ученик: № 774.
- так как комната прямоугольной формы;
и 
; 
, значит, помещение подойдет для библиотеки.
Запись на доске и в тетрадях:
№ 774.
- так как комната прямоугольной формы;
и
; , значит, помещение подойдет для библиотеки.
Подведение итогов
Учитель: Подведем итоги. Мы сегодня с вами изучили теоремы сложения и умножения числовых неравенств. Сформулируйте теорему 5.
Ученик: Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство. Если и , то .
Учитель: Теперь сформулируйте теорему 6.
Ученик: Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство. Если и , где - положительные числа, то .
Учитель: Сформулируйте следствие из теоремы 6.
Ученик: Если числа и положительны и , то , где - натуральное число.
Учитель: Спасибо за урок, Урок окончен, можете идти.
Учитель выставляет отметки учащимся, кто отвечал на уроке и работал у доски.
Домашнее задание
№ 781