Тема урока: «Формулы приведения»
I. Тип урока: Изучение нового материала
II. Цели и задачи урока:
Обучающие
- Продолжить овладение системой математических знаний и умений, необходимых для продолжения образования;
- повторить свойства тригонометрических функций, свойства вращательного движения;
- продемонстрировать с помощью визуального дидактического материала основные этапы получения (вывода) формул приведения, опираясь на симметрию вращательного движения;
- «открыть» мнемоническое правило для запоминания формул приведения;
- показать возможность применения формул для упрощения тригонометрических выражений
- Развивающие
- Расширять кругозор и познавательный интерес учащихся;
- создать ситуацию, при которой каждый из учащихся приобщился бы к активной познавательной деятельности;
Воспитательные
- Формировать интерес к изучению математики и смежных дисциплин на материале темы урока;
- Воспитывать культуру математической речи.
III. Примененные технологии урока:
- Информационно-коммуникативные технологии
- Технология гуманитаризации
- Здоровьесберегающие технологии
IV. Тема урока: «Формулы приведения»
Определение: Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов π/2 ±α; π ±α;
3π/2±α; 2π ±α
выражаются через значения sin α, cos α, tg α, ctg α.
Когда мы находим значения тригонометрических функций с помощью единичной окружности, мы используем уже известные табличные значения.
Обратим внимание, что таблица значений тригонометрических функций составлена для углов от 0° до 90°. Это объясняется тем, что значения тригонометрических функций для остальных углов сводятся к значениям тригонометрических функций для острых углов. А формулы, которые позволяют сделать это, называются формулами приведения.
Формулы приведения
Формулы приведения необходимы для того, чтобы привести вычисления значений тригонометрических функций для любого аргумента к вычислению тригонометрический функций для аргумента [0; π/2]
Формулы приведения основаны на симметрии вращательного движения (см информационная схема «Свойства вращательного движения»)
1. Докажем, что для любого α
sin (α+2 πk) = sin α, cos (α+2 πk) = cos α, где к принадлежит множеству целых чисел
Информационная схема (свойство 1)
Это свойство выражает периодичность вращательного движения.
Так как точка Pt совпадает на окружности с точкой Pt+2πκ , то их абсциссы и ординаты равны, поэтому равны значения.
sin (t+2 πk) = sin t,
cos (t+2 πk) = cos t
2. Запишем в координатной форме свойство 3 вращательного движения.
Абсцисса точки Pt+π cos (t+π)
Абсцисса точки Pt cos t
Так как точки диаметрально противоположны, их абсциссы отличаются только знаком (противоположные числа). cos (t+π)= - cos t
Ординаты диаметрально противоположных точек тоже являются противоположными числами, поэтому sin (t+π) = - sin t.
3. Запишем в координатной форме свойство 5 вращательного движения.
Так как точки Pt и P-t+π симметричны относительно оси ординат, то их ординаты равны, то есть sin (- t+π) = sin (π- t) = sin t, а абсциссы – противоположные числа cos (- t+π) = cos (π- t) = - cos t
4. Ранее были получены следующие формулы
sin (π/2 – t) = cos t
cos (π/2 – t) = sin t
Формулы приведения для тангенса и котангенса получаются как следствие полученных формул для синуса и косинуса.
tg (t+2 πk) = tg t , ctg (t+2 πk) = ctg t
Формул приведения много, а точнее 32. И все формулы надо знать. К счастью существует простое мнемоническое правило, позволяющее быстро воспроизвести любую формулу приведения. Правда для этого надо хорошо знать основы тригонометрии – единичную окружность и способы работы с ней.
 |
Задание для учащихся: внимательно просмотрите формулы приведения и заметьте сходство и различия в них.
1.Каждая формула связывает между собой либо синус с косинусом, либо тангенс с котангенсом. Причём, первая функция либо меняется на вторую, либо нет.
В левой части формулы аргумент представляет собой сумму или разность одного из «основных координатных углов»: π/2 ; π ; 3π/2; 2π и острого угла α, а в правой части аргумент α.
2. В правой части знак перед функцией либо «плюс», либо «минус».
Мнемоническое правило (мнемоника – искусство запоминания).
Достаточно задать себе два вопроса:
1. Меняется ли функция на кофункцию?
Ответ: Если в формуле присутствуют углы π/2 или 3π/2 - это углы вертикальной оси, киваем головой по вертикали и сами себе отвечаем: «Да», если же присутствуют углы горизонтальной оси π или 2 π, то киваем головой по горизонтали и получаем ответ: «Нет».
2. Какой знак надо поставить в правой части формулы?
Ответ: Знак определяем по левой части. Смотрим, в какую четверть попадает угол, и вспоминаем, какой знак в этой четверти имеет функция, стоящая в левой части.
Для применения формул приведения необходимо помнить правило:
Название функции не меняется, если к аргументу левой части добавляется – π или + π, меняется, если добавляются числа ± π/2 или ± 3π/2.
Знак в правой части определяется знаком левой при 0˂ t ˂π/2.
IV. Тренинг по формулам приведения. Отработка мнемонического правила.
Упростите выражение
1) cos (π/2 – α) = sin α
2) sin (π + α) = - sin α
3) ctg (3π/2 – α) = tg α
4) tg (3π/2 + α) = - ctg α
5) sin (2π – α) = - sin α