Средний срок поступления дохода. Кроме доходности облигации необходимо также уметь оценивать ее риск, связанный со сроком облигации: чем больше срок до погашения, тем выше риск. Помимо непосредственно сроков надо учитывать распределение доходов во времени. Для такого рода оценки облигации вводят средний срок поступления дохода от облигации.
Средний срок поступления дохода – это средняя взвешенная величина всех видов поступлений (доходов) от облигации. В качестве весов берутся суммы поступлений (доходов).
Следует отметить, что средний срок поступления дохода от облигации отличается от среднего срока жизни облигации, который усредняет только сроки оплаты номинала облигаций (допускающих досрочное погашение), но не учитывает сроки выплат купонного дохода.
Средний срок жизни облигации t определяется по формуле
,
где k – количество серий;
– последовательные доли погашения облигаций, 
.
Средний срок поступления дохода от облигации Т находят следующим образом:
,
где 
– сумма дохода;
n – срок облигации;
– сроки поступления купонных доходов.
Так как сумма купонного дохода и номинала, стоящая в знаменателе, равна:
,
то формула для Т может быть записана в более простом виде
.
Отсюда видно, что средний срок поступления доходов от облигации не зависит от номинала.
Если купоны оплачиваются р раз в году, то средний срок поступления доходов от облигации определяется по формуле
Увеличение кратности выплаты процентов по облигации снижает средний срок поступления дохода от облигации.
Поясним смысл понятия «средний срок поступления дохода от облигации». Он дает тот момент времени общего срока облигации, при котором суммы кредитных услуг (кредитная услуга – произведение суммы кредита на его срок) равны между собой до этого момента и после. Чем меньше средний срок, тем скорее владелец облигации получает от нее отдачу и, следовательно, тем меньше риск.
Дюрация облигации. Введенное понятие среднего срока поступления дохода от облигации имеет тот очевидный недостаток, что в нем игнорируется временная стоимость денег. Этот недостаток отсутствует в другой величине, учитывающей не размеры доходов, а их дисконтированные величины. Эта величина называется дюрацией.
Это понятие ввел Маколей. Дюрация рассчитывается по формуле
,
где 
– коэффициент дисконтирования сумм дохода .
Если поток платежей положительный, то весовые коэффициенты
–
положительные числа, сумма которых равна единице. Поэтому дюрация – это центр тяжести платежей на временной шкале (рис. 1).
Рис. 1. Дюрация как центр тяжести платежей на временной шкале
Одно из важнейших свойств дюрации состоит в том, что дюрация, точнее, модифицированная дюрация MD=D/(1+y), где y – процентная ставка, определяет чувствительность цены облигации к изменению уровня процентной ставки на рынке. Модифицированная дюрация для облигации с выплатами купонного дохода р раз в году равна
.
Данное свойство в случае облигаций формулируется следующим образом:
для относительного изменения цены облигации 
при изменении доходности на 
справедлива приближенная формула
.
Таким образом, MD представляет собой показатель эластичности цены облигации по рыночной процентной ставке.
Пример. Дюрация облигации равна D=10. Известно, что ее доходность к погашению увеличилась с 12 до 13.5%. Определить на сколько процентов изменилась цена облигации.
Решение.
.
Цена облигации уменьшилась на 13,39%.
Портфель облигаций
Портфель облигаций, состоящий из облигаций разных видов, сроков погашения, размеров купонного дохода и других характеристик, имеет свою доходность, средний срок поступлений, дюрацию и иные параметры, характеризующие портфель в целом.
Материал рассмотрен в учебном пособии Брусов и др., п. 5.7.