Во всех задачах исследования цепи на устойчивость необходимо решить, имеет ли характеристическое уравнение знаменателя ОПФ проектируемой цепи корни, расположенные в правой полуплоскости.
Методы, с помощью которых можно судить об устойчивости цепи, не прибегая к вычислению корней характеристического уравнения знаменателя, называют критериями устойчивости.
В настоящее время известен ряд критериев устойчивости, среди которых чаще всего используются критерии устойчивости, предложенные А. Гурвицем (1895), А. В. Михайловым (1938) и Г. Найквистом (1932). Не все они одинаково удобны и универсальны, в каждом частном случае один из них может оказаться предпочтительным.
Один из первых критериев устойчивости был найден немецким математиком А. Гурвицем и опубликован им в 1895 году. Он определил условия, которым должны удовлетворять специально составленные соотношения между коэффициентами алгебраического уравнения с тем, чтобы все корни последнего имели отрицательные вещественные части или, иными словами, были расположены в левой полуплоскости.
Формулировка критерия устойчивости Гурвица: (в алгебре критерий Рауса-Гурвица) цепь будет устойчивой, если определитель:
,
составленный из коэффициентов полинома знаменателя ОПФ:
и все его главные миноры 
; 
; 
принимают положительные значения.
Этот критерий приводится без доказательства. Определитель принято называть определителем Гурвица. Он составляется по следующему простому правилу. На главной его диагонали выписываются коэффициенты в том порядке, в котором они расположены в уравнении, начиная с коэффициента 
. В каждом из столбцов под диагональным элементом выписываются коэффициенты с убывающими, а над ним – с возрастающими индексами. Все коэффициенты, индексы которых превышают 
или отрицательны, заменяются нулями. При этом следует учесть, что 
.
Пример. Пусть дан полином четвертой степени:
.
Ему соответствует определитель Гурвица:
.
Главные миноры этого определителя:
; 
; 
; 
.
Определитель и все его миноры положительны. Следовательно, все корни рассматриваемого уравнения 
лежат в левой полуплоскости. Действительно, легко убедиться подстановкой, что значения корней уравнения таковы:
; 
; 
.
Полиномы с вещественными коэффициентами, нули которых расположены в левой полуплоскости, принято в ТЭЦ называть полиномами Гурвица или устойчивыми полиномами. В дальнейшем их будем обозначать J(p). Можно показать, что положительность коэффициентов полинома и неравенство их нулю есть необходимое, но недостаточное условие принадлежности его к классу полиномов Гурвица.
Так полиномы 
и 
не могут быть J(p) поскольку в первом есть отрицательный коэффициент (‑1), а во втором коэффициент при 
равен нулю.
В дальнейшем ОПФ пассивных цепей будем записывать в виде:
.
Связь между ОПФ и КПФ
КПФ образуется из ОПФ путем замены оператора 
на оператор 
, т.е. 
.
.
Если степень, в которую возводится оператор 
четная, то: 
, если же она нечетная, то 
.
Отсюда следует вывод, что вещественные части полиномов представляют собой четные функции частоты, а мнимые – нечетные, т. е. можно в общем виде записать:
,
где 
– четные полиномы частоты 
.
Возьмем модуль и аргумент и в результате получим:
.
Откуда:
АЧХ: 
;
ФЧХ: 
.
По этим выражениям можно построить графики.
Литература
1. Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986. (Учебник);
2. Бакалов В. П. и др. Теория электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1998.
3. Качанов Н. С. и др. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воен. издат., 1974. (Учебник);
4. Попов В. П. Основы теории цепей – М.: Высшая школа, 2000.(Учебник)