Лабораторная работа № 1
Оценка параметров производственной функции
Цель работы: Построение модели экономического объекта и оценка ее адекватности.
1. Исходные данные. В табл. 1.1 приведены показатели промышленного развития страны за определенный временной интервал (первая строка), используемые для оценки параметров производственной функции. Во второй строке указаны объемы ВВП 
, в третьей строке - стоимости основных фондов 
и в четвертой - число занятых в промышленности рабочих 
.
Порядок выполнения работы
2.1. Работа выполняется в среде Excel.
2.2. Найти параметры 
производственной функции Кобба - Дугласа 
по данным табл. 1.1.
Для этого вводятся обозначения для элементов табл. 1.1 по следующей схеме
и составляется квадратичный критерий качества (целевая функция) исходя из наблюдений за 12 лет
. (1)
Параметры 
, при которых критерий качества достигает минимума, считаются наилучшими (оптимальными).
2.2.1. Найти параметры производственной функции с помощью процедуры Поиск решения в среде Excel.
Для этого скопировать в Excel табл.1.1 из файла «Исходные данные к », ввести в соответствующие 12 ячеек функцию Кобба-Дугласа 
и зарезервировать ячейки под целевую функцию и оцениваемые параметры 
.
Выбрать пункт меню Сервис, а затем процедуру Поиск решения. В появившемся окне Поиск решения в строке Изменяя ячейки установить номера ячеек , поднять флажок Минимальное значение и щелкнуть по клавише Выполнить.
В ячейках появляются оптимальные значения параметров, а в строке функция Кобба-Дугласа – значения аппроксимирующей функции.
2.2.2. Построить на одном рисунке графики значений ВВП 
из табл.1.1 и функции Кобба-Дугласа 
.
2.3. Оценить адекватность полученной модели. Проверка адекватности сводится к выполнению условий Гаусса – Маркова для остаточного ряда, представляющего собой ошибку идентификации 
.
Случайные отклонения 
должны удовлетворять следующим свойствам (условиям Гаусса – Маркова):
- остатки имеют случайный характер;
- нулевое математическое ожидание остатков;
- отсутствие корреляции остатков;
- остатки подчиняются нормальному закону распределения.
Проверка случайного характера элементов остаточного ряда. Проверка случайности элементов остаточного ряда проводится по критерию серий. По результатам сравнения двух соседних элементов остаточного ряда составляется последовательность нулей и единиц. Если первая разность 
, то в последовательности ставится нуль, иначе - единица. Далее подсчитывается число серий S(N), представляющих собой фрагменты последовательности, состоящие только из нулей или единиц, и продолжительность Kmax самой длинной серии. Остаточный ряд с вероятностью 0,95 считается случайным, если
(2)
где 
trunc – символ целой части.
Проверка центрированности остаточного ряда проводится с использованием t – критерия Стьюдента. С этой целью формируется статистика:
, (3)
где 
- среднее значение и среднеквадратическое отклонение остаточного ряда.
Далее задаются уровнем значимости 
или доверительной вероятностью 
, и находят по таблицам 100 
процентную точку t распределения 
с N- 1 степенями свободы. Если окажется 
больше 100 процентной точки, то гипотеза о центрированности остаточного ряда отвергается как несоответствующая экспериментальным данным с вероятностью ошибки . В противном случае ряд признается центрированным с вероятностью 1- правильности этого решения.
Проверка независимости (некоррелированности) элементов остаточного ряда. На практике проверка независимости остатков проводится с применением критерия Дарбина -Уотсона. В соответствии с этим критерием вычисляется величина:
. (4)
Алгоритм выявления корреляции остатков следующий. По специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина -Уотсона 
и 
для заданного числа наблюдений 
, числа независимых переменных модели 
и уровня значимости .
Величина 
используется для проверки компонент вектора 
на независимость. Это делается следующим образом: если величина 
, то заменяют 
и далее проводят анализ на основании d*.
Если окажется, что 
принадлежит 
, то компоненты остаточного ряда считаются коррелированными и модель признается неадекватной;
Если окажется, что принадлежит 
, то элементы остаточного ряда классифицируются как независимые, а модель признается адекватной;
Если принадлежит 
, то проводят дополнительный анализ по более сложным алгоритмам. На практике предполагают существование автокорреляции остатков и модель признается неадекватной.
Проверка остатков на нормальное распределение. Ее сущность в следующем. По экспериментальным данным (остаточному ряду) строятся эмпирические коэффициенты асимметрии 
(характеризует асимметрию плотности вероятности относительно мат. ожидания) и эксцесса 
(характеризует сглаженность кривой распределения около мат. ожидания):
. (5)
Если эти коэффициенты близки к нулю, то появляется основание считать остаточный ряд гауссовским. Для усиления этих оснований вычисляют среднеквадратические отклонения коэффициентов:
.
Если 
и 
, то считают, что распределение остаточного ряда не противоречит гипотезе о нормальном распределении. Если хотя бы один из коэффициентов оказывается больше двух среднеквадратических отклонений, гипотеза о нормальности отвергается.
|
. 
- указывает, что кривая плотности в окрестности максимума имеет более острую вершину. 
- более низкая и плоская вершина кривой плотности.
Рис. 5, а. Пологий спад справа от МО - плотность вероятности обладает положительной асимметрией 
. Если коэффициент отрицательный, то говорят об отрицательной асимметрии.